一个n元不等式的引理

在昨天的文章中，有一道题目的等价形式如下：

题目1 𝑥，𝑦，𝑧，𝑤为非负实数，且𝑥+𝑦+𝑧+𝑤=4．求证：

公式：(xyz)^{\frac{3}{2}}+(yzw)^{\frac{3}{2}}+(zwx)^{\frac{3}{2}}+(wxy)^{\frac{3}{2}}\leq 4．

将题目1稍作改编，次数变为1，并变为𝑛元形式，可得到下面的题目2．

题目2 设𝑛≥4，𝑥_(𝑖)≥0，∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)=1．求

公式：x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+\cdots+x_nx_1x_2

为解决题目2，我们考虑一个更一般的结论：

引理 𝑥_(𝑖)≥0，∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)=1，2≤𝑘<𝑛．求证：

公式：\sum\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=i}^{i+k-1}x_j\leq \max\left\{\dfrac{1}{k^k},\dfrac{1}{n^{k-1}}\right\}．

以下是引理部分情况的证明（非原创）：

我们证明𝑛≡0,1,−1(mod𝑘)且𝑛“不太小”时，不等式成立．

（1）若存在正整数𝑙≥2，使𝑛=𝑘𝑙．则

公式：\dfrac{1}{n^{k-1}}=\dfrac{1}{k^{k-1}l^{k-1}}\leq \dfrac{1}{k^{k-1}2^{k-1}}\leq\dfrac{1}{k^k}．

由均值不等式，有

公式：\begin{align*} &\sum\limits_{cyc}x_1x_2\cdots x_k\\ \leq&(x_1+x_{k+1}+\cdots+x_{(l-1)k+1})\\ &(x_2+x_{k+2}+\cdots+x_{(l-1)k+2})\\ &\cdots\\ &(x_k+x_{2k}+\cdots+x_{lk})\\ \leq&\left(\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{k}\right)^k\\ =&\dfrac{1}{k^k} \end{align*}

当𝑥_(1)=⋯=𝑥_(𝑘)=(1)/(𝑘)，𝑥_(𝑘+1)=⋯=𝑥_(𝑛)=0时，等号成立．

（2）若存在正整数𝑙≥2，使𝑛=𝑙𝑘+1．则

由轮换性不妨设𝑥_(1)为所有的𝑥_(𝑖)中最小的那个．于是由均值不等式：

公式：\begin{align*} &\sum\limits_{cyc}x_1x_2\cdots x_k\\ =&(x_1\cdots x_k+\cdots x_{n-k+1}\cdots x_n)\\ &+\sum\limits_{r=3}^{k+1}x_{(l-1)k+r}\cdots x_{lk+1}x_1x_2\cdots x_{r-2}\\ \leq&(x_1\cdots x_k+\cdots x_{n-k+1}\cdots x_n)\\ &+\sum\limits_{r=3}^{k+1}x_{(l-1)k+r}\cdots x_{lk+1}x_{r-1}x_2\cdots x_{r-2}\\ \leq&(x_1+x_{k+1}+\cdots+x_{lk+1})\\ &(x_2+x_{k+2}+\cdots+x_{(l-1)k+2})\\ &\cdots\\ &(x_k+x_{2k}+\cdots+x_{lk})\\ \leq&\left(\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{k}\right)^k\\ =&\dfrac{1}{k^k} \end{align*}

取等条件同上．

（3）若存在正整数𝑙，满足𝑘=3，𝑙≥3或𝑘≥4，𝑙≥2，使𝑛=𝑘𝑙−1．则仍有

由轮换性不妨设𝑥_(𝑘)为所有的𝑥_(𝑖)中最大的那个．于是由均值不等式：

公式：\begin{align*} &\sum\limits_{cyc}x_1x_2\cdots x_k\\ =&\left(\sum\limits_{i=1}^{n-k+1}x_i\cdots x_{i+k-1}\right)\\ &+x_{(l-1)k+1}x_{(l-1)k+2}\cdots x_{lk-1}x_1\\ &+\sum\limits_{r=2}^{k-1}x_{(l-1)k+r}\cdots x_{lk-1}x_1\cdots x_{r-1}x_r\\ \leq&\left(\sum\limits_{i=1}^{n-k+1}x_i\cdots x_{i+k-1}\right)\\ &+x_{k}x_{(l-1)k+2}\cdots x_{lk-1}x_1\\ &+\sum\limits_{r=2}^{k-1}x_{(l-1)k+r}\cdots x_{lk-1}x_1\cdots x_{r-1}x_r\\ \leq&(x_1+x_{k+1}+\cdots+x_{(l-1)k+1})\\ &\cdots\\ &(x_{k-1}x_{2k-1}\cdots x_{lk-1})\\ &(x_k+x_{2k}+\cdots+x_{(l-1)k})\\ \leq&\left(\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{k}\right)^k\\ =&\dfrac{1}{k^k} \end{align*}

取等条件同上．

𝑘=3，𝑛=4,5,6的情形比较简单，读者可以自行证明．至此我们完成了题目2的证明．

其余情形的证明在此略去，欢迎与作者交流．

特别地，令𝑘=2，注意到

推论 设𝑛≥4，𝑥_(𝑖)≥0．则有

公式：\begin{align*} &(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2\\ \geq&4(x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_nx_1)．\end{align*}

应用此推论可解决多道国内外竞赛题，例如以下四题．

题目3 设整数𝑛（𝑛>3），非负实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)满足

公式：\dfrac{a_1}{a_2^2+1}+\dfrac{a_2}{a_3^2+1}+\cdots+\dfrac{a_n}{a_1^2+1}

题目4 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑≥0且𝑎+𝑏+𝑐+𝑑=4．求证：

公式：\dfrac{a}{b^3+4}+\dfrac{b}{c^3+4}+\dfrac{c}{d^3+4}+\dfrac{d}{a^3+4}\geq\dfrac{2}{3}．

题目5 𝑛≥2，𝑎_(𝑖)≥0且∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑎_(𝑖)=𝑛．求∑_(𝑖=1)^(𝑛)(𝑎_(𝑖))/(𝑎3𝑖+1+4)的最小值．
(题目4的𝑛元推广)

题目6 给定整数𝑛≥3．设𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(2𝑛)，𝑏_(1)，𝑏_(2)，⋯，𝑏_(2𝑛)是4𝑛个非负实数，满足

公式：a_1+a_2+\cdots+a_{2n}=b_1+b_2+\cdots+b_{2n}>0，

且对任意𝑖=1,2,⋯,2𝑛，有𝑎_(𝑖)𝑎_(𝑖+2)≥𝑏_(𝑖)+𝑏_(𝑖+1)（这里𝑎_(2𝑛+1)=𝑎_(1)，𝑎_(2𝑛+2)=𝑎_(2)，

解答明天再写，建议先自己思考。