2025年美国数学奥林匹克（初级组）

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1. 2025 年美国数学奥林匹克（初级组）　程国根 译
2. 第一天
3. 第 1 题　任意给定函数 $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$．求证：存在无穷多个整数 $c$，使得满足 $g(x)=f(x)+cx$ 的函数 $g:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ 不是双射的．
4. 第 2 题（同 USAMO 第 1 题）　设 $k,d$ 是正整数．求证：存在正整数 $N$，使得对任意奇数 $n>N$，$n^k$ 在 $2n$ 进制中的每位数码都大于 $d$．
5. 第 3 题　设 $m,n$ 为正整数，$\mathcal{R}$ 是一个 $2m\times 2n$ 的正方形网格．定义“多米诺”一个 $1\times 2$ 或 $2\times 1$ 的矩形．对 $\mathcal{R}$ 的一个子集 $S$，如果能用若干个多米诺不重叠地覆盖 $S$，则称 $S$ 是“可多米诺覆盖的”．称从 $\mathcal{R}$ 的左下顶点到右上顶点的一条长度恰为 $2m+2n$ 的路径为“右上路径”．计算并证明：有多少条右上路径，能将 $\mathcal{R}$ 分成两个可多米诺覆盖的子集（用 $m$ 和 $n$ 表示）．
6. 第二天
7. 第 4 题　设 $n$ 为正整数．非负整数 $a_0\ge a_1\ge\cdots\ge a_n$．求证：$\sum_{i=0}^{n}i\binom{a_i}{2}\le\frac{1}{2}\binom{a_0+a_1+\cdots+a_n}{2}$．
8. 第 5 题（同 USAMO 第 4 题）　$H$ 是锐角 $\triangle ABC$ 的垂心，$CF$ 是高，$P$ 是 $H$ 关于 $BC$ 的对称点．设 $\triangle AFP$ 的外接圆与直线 $BC$ 交于点 $X,Y$，求证：$C$ 是 $XY$ 的中点．
9. 第 6 题　设集合 $S$ 由整数组成，且满足以下条件：
10. $\bullet\ \{1,2,\cdots,2025\}\subseteq S$；
11. $\bullet$ 若 $a,b\in S$，且 $\gcd(a,b)=1$，则 $ab\in S$；
12. $\bullet$ 对 $s\in S$，若 $s+1$ 为合数，则 $s+1$ 的全体正约数均在 $S$ 中．
13. 求证：$S$ 包含全体正整数．