代数 2025-03-22 含解答

既然都是隐藏思路，不如再彻底一些

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 159 字公式 22 处

早上看到的一道小题，其它解答我就不贴了。说一下我的观点：

这类题目的做法，往往需要通过待定系数或者求导，求出（或者猜出）取等条件，再进行各种“神级放缩”。然而很多答案的方法往往不说明这个最重要的猜取等过程，既然这样，不如在另一方面做到极致，让放缩看起来更简单自然一些。

题目：

已知正数a,b满足3a+4b=a^(3)b^(2)，求

2a+b+(2)/(a)+(3)/(b)

的最小值．

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解答：

设a=√(2)x，b=(3y)/(√(2))，则条件变为：

3√(2)x+6√(2)y=9√(2)x^(3)y^(2)

于是

3x^(3)y^(2)=x+y+y≥3√(xy^(2),3)

即x^(2)y≥1．此时

2a+b+(2)/(a)+(3)/(b);= 2√(2)x+(3y)/(√(2))+(√(2))/(x)+(√(2))/(y);= (1)/(√(2))(4x+3y+(2)/(x)+(2)/(y));≥ (1)/(√(2))⋅11√(x^(4)⋅y^(3)⋅(1)/(x^(2))⋅(1)/(y^(2)),11);= (11)/(√(2))√(x^(2)y,11);≥ (11√(2))/(2);

当且仅当x=y=1，即a=√(2)，b=(3√(2))/(2)时，等号成立．

故最小值为(11√(2))/(2)．

解题研究

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