代数 2023-10-19 含解答

解高航老师分享的一道题

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 73 字公式 21 处

题目：

已知a,b∈R，设f(x)=x^(4)−2023x，若a≠b，且

f(a)=f(b)=c(c>0),

求证：−√(c)<ab<0．

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证明：

由f^(′)(x)=4x^(3)−2023=0有唯一实根x_(0)，知f(x)在(−∞,x_(0))递减，在(x_(0),+∞)递增，且f(0)=f(√(2023,3))=0，于是f(x)=c恰有两个实根a,b，且a,b异号，因此ab<0．

由因式定理，可设

公式：x^4-2023x-c=(x-a)(x-b)(x^2+mx+n)

对比三次项系数及常数项可知：

m=a+b,n=−(c)/(ab)

对比二次项系数可知：

−(c)/(ab)+ab−(a+b)^(2)=0

即

c=a^(2)b^(2)−ab(a+b)^(2)>a^(2)b^(2)

又ab<0，因此−√(c)<ab<0，证毕．

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