代数
含解答
是否存在满足要求的二元运算？
正文文字 114 字公式 20 处
题目：
给定实数a≠b，集合X中至少含有a,b两个元素．函数f:X^(3)→X定义如下：
公式：f(x,y,z)=\begin{cases}a,若x,y,z不为a\\b,若x,y,z中至少一数为a\end{cases}
是否存在二元运算∗:X^(2)→X，使得对任意x,y,z∈X，都有f(x,y,z)=(x∗y)∗z？
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答案：
不存在．
证明：
假设存在这样的二元运算，分两种情况进行讨论：
(1)若对任意x,y∈X,x≠a,y≠a，都有x∗y≠a．
则对任意
公式：x,y,z\in X,x\neq a,y\neq a,z\neq a，于是x∗y≠a，我们有
公式：a=f(x,y,z)=(x*y)*z\neq a
矛盾．
(2)若存在u,v∈X,u≠a,v≠a，使得u∗v=a．则
公式：a*a=(u*v)*a=f(u,v,a)=b
于是对任意x∈X，有
公式：b*x=(a*a)*x=f(a,a,x)=b
因此
公式：a=f(b,u,v)=(b*u)*v=b*v=b
这与a≠b矛盾．
综上，不存在这样的二元运算．
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