今天生日，发道简单的不等式纪念一下
正文文字 541 字约 2 分钟公式 11 处1 图
问题：
正实数列{a_(n)}满足对任意正整数n，都有
公式：a_{n+1}^2\ge \frac{a_1^2}{1^3}+\frac{a_2^2}{2^3}+\cdots+\frac{a_n^2}{n^3}.
求证：存在正实数N，使得
公式：\sum_{n=1}^N\frac{a_{n+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_n}>\frac{2023}{1013}.
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证明：
由柯西不等式，
公式：a_{n+1}^{2}\ge \frac{a_1^2}{1^3}+\frac{a_2^2}{2^3}+\cdots+\frac{a_n^2}{n^3}\ge \frac{(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})^{2}}{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}
于是
公式：\left(\frac{a_{n+1}}{a_{1}+\cdots+a_{n}}\right)^{2}\ge\frac{1}{1^{3}+\cdots+n^{3}}=\left(\frac{2}{n(n+1)}\right)^{2}
即(a_(n+1))/(a_(1)+⋯+a_(n))≥(2)/(n(n+1))．
因此
公式：\sum_{n=1}^N\frac{a_{n+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\ge 2\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=2-\frac{2}{N+1}
令2−(2)/(N+1)>(2023)/(1013)，即N>(2023)/(3)即可．
图片版：
改编自一道老题（2013年新加坡），改成了2023和1013两个数字，初学柯西不等式的同学就能很快做出来。
tex文档：
1. 正实数列$\{a_n\}$满足对任意正整数$n$，都有$$a_{n+1}^{2}\ge \frac{a_1^2}{1^3}+\frac{a_2^2}{2^3}+\cdots+\frac{a_n^2}{n^3}.$$ 求证：存在正实数$N$，使得$$\sum_{n=1}^N\frac{a_{n+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_n}>\frac{2023}{1013}.$$
由柯西不等式，$$a_{n+1}^{2}\ge \frac{a_1^2}{1^3}+\frac{a_2^2}{2^3}+\cdots+\frac{a_n^2}{n^3}\ge \frac{(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})^{2}}{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}$$ 于是$$\left(\frac{a_{n+1}}{a_{1}+\cdots+a_{n}}\right)^{2}\ge\frac{1}{1^{3}+\cdots+n^{3}}=\left(\frac{2}{n(n+1)}\right)^{2}$$ 即$\dfrac{a_{n+1}}{a_{1}+\cdots+a_{n}}\ge\frac{2}{n(n+1)}$． 因此$$\sum_{n=1}^N\frac{a_{n+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\ge 2\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=2-\frac{2}{N+1}$$ 令$2-\dfrac{2}{N+1}>\dfrac{2023}{1013}$，即$N>\dfrac{2023}{3}$即可．
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\begin{document}\setDOCadd{../../}\begin{spacing}{1.3}\ex 正实数列$\{a_n\}$满足对任意正整数$n$，都有$$a_{n+1}^{2}\ge \frac{a_1^2}{1^3}+\frac{a_2^2}{2^3}+\cdots+\frac{a_n^2}{n^3}.$$
求证：存在正实数$N$，使得$$\sum_{n=1}^N\frac{a_{n+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_n}>\frac{2023}{1013}.$$
\begin{proof}由柯西不等式，$$a_{n+1}^{2}\ge \frac{a_1^2}{1^3}+\frac{a_2^2}{2^3}+\cdots+\frac{a_n^2}{n^3}\ge \frac{(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})^{2}}{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}$$
于是$$\left(\frac{a_{n+1}}{a_{1}+\cdots+a_{n}}\right)^{2}\ge\frac{1}{1^{3}+\cdots+n^{3}}=\left(\frac{2}{n(n+1)}\right)^{2}$$
即$\dfrac{a_{n+1}}{a_{1}+\cdots+a_{n}}\ge\frac{2}{n(n+1)}$．
因此$$\sum_{n=1}^N\frac{a_{n+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\ge 2\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=2-\frac{2}{N+1}$$
令$2-\dfrac{2}{N+1}>\dfrac{2023}{1013}$，即$N>\dfrac{2023}{3}$即可．\end{proof}\end{spacing}\end{document}
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