代数
含解答
一道三元不等式简证
正文文字 44 字公式 13 处
这是后台读者问的一道题，睡前写一下．
实数a,b,c满足a^(2)+b^(2)+c^(2)=1，求a+b+c−2abc的最大值．
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解答：
取a=b=(√(2))/(2)，c=0，得
下证：a+b+c−2abc≤√(2)，即
由2ab≤a^(2)+b^(2)≤a^(2)+b^(2)+c^(2)=1，同理有2bc≤1，2ca≤1．
于是
公式：\begin{aligned}
&2-(a+b+c-2abc)^2\\
=&1+(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c-2abc)^2\\
=&(1-2ab)(1-2bc)(1-2ca)+4a^2b^2c^2\\
\ge&0
\end{aligned}综上，最大值为√(2)．
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