单墫教授出的一道因式分解

单墫教授昨天在公众号单谈数学上发了此题：

将x^(12)+2^(6)分解为整系数的多项式相乘，直至不能进一步分解（为整系数多项式相乘）．

首先，

公式：\begin{aligned} &x^{12}+2^6\\ =&(x^6)^2+64\\ =&(x^6)^2+2\cdot 8\cdot x^6+8^2-16x^6\\ =&(x^6+8)^2-(4x^3)^2\\ =&(x^6+4x^3+8)(x^6-4x^3+8)\\ \end{aligned}

由

公式：\begin{aligned} &a^3+b^3+c^3-3abc\\ =&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \end{aligned}

可得：

公式：\begin{aligned} &x^6+4x^3+8\\ =&(x^2)^3+(-2x)^3+2^3-3\cdot x^2\cdot (-2x)\cdot 2\\ =&(x^2-2x+2)((x^2)^2+(-2x)^2+2^2-x^2(-2x)-(-2x)2-2x^2)\\ =&(x^2-2x+2)(x^4+2x^3+2x^2+4x+4) \end{aligned}

同理

公式：\begin{aligned} &x^6-4x^3+8\\ =&(x^2+2x+2)(x^4-2x^3+2x^2-4x+4) \end{aligned}

可以用待定系数法证明x^(4)+2x^(3)+2x^(2)+4x+4和x^(4)−2x^(3)+2x^(2)−4x+4无法进一步分解．（或者作x=t+1换元后用Eisenstein判别法．

于是x^(12)+2^(6)在Z[x]上的因式分解如下：

公式：\begin{aligned} &x^{12}+2^6\\ =&(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)\\ &(x^4-2x^3+2x^2-4x+4)\\ &(x^4+2x^3+2x^2+4x+4) \end{aligned}