32道含绝对值的不等式

1. 两个实数列 𝑎_(1),⋯,𝑎_(𝑛);𝑏_(1),⋯,𝑏_(𝑛) 满足 ∑𝑎2𝑖=∑𝑏2𝑖=1，证明

   公式：(a_1b_2-a_2b_1)^2\le 2 | a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n-1|.
2. 设 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛) 是任意实数，证明：

公式：\sum _{i,j=1}^{n}|a_{i}+a_{j}|\ge n\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|.

3. 设 𝑎,𝑏,𝑐 是三个不同的正实数，证明：

公式：{1\over |a^{2}-b^{2}|}+{1\over |b^{2}-c^{2}|}+{1\over |c^{2}-a^{2}|}+{8\over a^{2}+b^{2}+c^{2}}\ge {28\over (a+b+c)^{2}}.

4. （2009年CMO） 给定整数 𝑛≥3，实数 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛) 满足 min_(1≤𝑖<𝑗≤𝑛)|𝑎_(𝑖)−𝑎_(𝑗)|=1．求 ∑_(𝑘=1)^(𝑛)|𝑎_(𝑘)|^(3) 的最小值．
5. （2013年CMO） 求所有的正实数 𝑡，满足：存在一个由实数组成的无限集合 𝑋，使得对任意的 𝑥,𝑦,𝑧∈𝑋 （ 𝑥,𝑦,𝑧 可以相同），及任意实数 𝑎 与正实数 𝑑，均有

   公式：\max{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|}>td.
6. （2019年CMO） 设实数 𝑎_(1), 𝑎_(2), ⋯, 𝑎_(40) 满足 𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(40)=0, 且对 1≤𝑖≤40, 均有 |𝑎_(𝑖)−𝑎_(𝑖+1)|≤1, 这里 𝑎_(41)=𝑎_(1). 记 𝑎=𝑎_(10), 𝑏=𝑎_(20), 𝑐=𝑎_(30), 𝑑=𝑎_(40).
   (1) 求 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 的最大值；
   (2) 求 𝑎𝑏+𝑐𝑑 的最大值．
7. （1995年CTST） 给实数 𝑃≥2，求 𝜆 的最小值使得对于任何 𝑎,𝑏∈(−1,1) 都有

公式：\left | a-b \right |^{p}\leq \lambda (2-\left | a-b \right |) \left | \frac{a\left | a \right |^{p-1}}{1-\left | a \right |} -\frac{b\left | b \right |^{p-1}}{1-\left | b \right |} \right |.

8. (2009年CTST） 已知 𝑥_(1),⋯,𝑥_(𝑚)， 𝑦_(1),⋯,𝑦_(𝑛) 是正实数，记 𝑋=∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)， ∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑦_(𝑖)．求证：

公式：2XY\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n|x_{i}-y_{j}|\geq X^{2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n|y_{i}-y_{j}|+ Y^{2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n|x_{i}-x_{j}|.

9. (2010年高联） 给定整数 𝑛>2，设正实数 𝑎_(1),𝑎_(2)⋯,𝑎_(𝑛) 满足 𝑎_(𝑘)≤1,𝑘=1,2,⋯,𝑛，记

公式：A_k=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k},k=1,2,\cdots,n,

求证：

公式：\left|\sum_{k=1}^na_k-\sum_{k=1}^nA_k\right|<\frac{n-1}{2}.

10. （2017年高联B卷） 设实数 𝑎,𝑏,𝑐 满足 𝑎+𝑏+𝑐=0．令 𝑑=max{|𝑎|,|𝑏|,|𝑐|}.证明：

    |(1+𝑎)(1+𝑏)(1+𝑐)|≥1−𝑑^(2).
11. 对所有的实数 𝑥,𝑦,𝑧，证明： 公式：|x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|z+x|+|x+y+z|\geq0.
12. 对于三个互不相同的实数 𝑎_(1),𝑎_(2),𝑎_(3)，按如下方式定义三个实数：𝑏_(1),𝑏_(2),𝑏_(3)：

    公式：b_j=(1+\frac{a_ja_i}{a_j-a_i})(1+\frac{a_ja_k}{a_j-a_k})({i,j,k}={1,2,3})

    证明：

    公式：1+|a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3|\leq (1+|a_1|)(1+|a_2|)(1+|a_3|)

    并指出等号成立的条件．
13. 设 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛) 为实数．证明： 公式：\sum\limits_{i,j=1}^n|x_i+x_j|\geq n\sum\limits_{i=1}^n|x_i|.
14. 已知 𝑛(𝑛≥3) 为正整数．证明：对于任意不全相同的 𝑛 个实数对 公式：(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)，有

公式：\left|\sum\limits_{i=1}^n(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)\right|\leq \sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\sum\limits_{j=1}^n\frac{x_j}{n}\right)^2+\left(y_i-\sum\limits_{j=1}^n\frac{y_j}{n}\right)^2.

求所有满足等号成立的正整数 𝑛 并举例．

15. (1987年IMO） 令 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛) 是实数，满足条件 𝑥21+𝑥22+⋯+𝑥2𝑛=1，求证：对于每一个整数 𝑘≥2，存在不全为 0 的整数 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛)，对于所有的整数 𝑖 使得 |𝑎_(𝑖)|≤𝑘−1，并且有

    公式：|a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n|\le {(k-1)\sqrt{n}\over k^n-1}.
16. （1997年IMO） 设 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛) 是满足下列条件的实数 |𝑥_(1)+𝑥_(2)+⋯+𝑥_(𝑛)|=1 且 |𝑥_(𝑖)|≤(𝑛+1)/2,𝑖=1,2,⋯,𝑛．证明：存在 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛) 的一个排列 𝑦_(1),𝑦_(2),⋯,𝑦_(𝑛)，使得 |𝑦_(1)+2𝑦_(2)+⋯+𝑛𝑦_(𝑛)|≤(𝑛+1)/2.
17. (2003年IMO） 设 𝑛 为正整数，实数 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛) 满足 𝑥_(1)≤𝑥_(2)≤⋯≤𝑥_(𝑛)．

（1）证明：

公式：(\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n|x_i-x_j|)^2\le {2(n^2-1)\over 3}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(x_i-x_j)^2

（2）证明等号成立的充要条件是 𝑥_(1),⋯,𝑥_(𝑛) 成等差数列．

18. （2006年IMO） 求最小的实数 𝑀，使得对所有的实数 𝑎,𝑏,𝑐，有

    公式：|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ac(c^2-a^2)|\le M(a^2+b^2+c^2)^2.
19. 设 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛) 均属于区间 [0,1]，证明：

公式：\sum\limits_{i=1}^n{\sum\limits_{j=1}^n{\left|{x_i}-x_j\right|}}\le\frac{{n^2}}{2}.

20. 设实数 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(100) 之和为1且

公式：|x_{k+1}-x_k|<{1\over50},k=1,2,\cdots,99.

求证：可以从这100个数中选出50个数，使得它们的和与 (1)/(2) 之差的绝对值不大于 (1)/(100)．

21. 设 0≤𝑝_(𝑖)≤1,𝑖=1,2,⋯,𝑛，求证：存在 𝑥∈[0,1] 满足

公式：\sum\limits_i^n {{1 \over {|x - {p_i}|}} \le 8n(1 + {1 \over 3} + {1 \over 5} + \cdots + {1 \over {2n - 1}})} .

22. 设实数 𝑥,𝑦 满足 |𝑥|<1,|𝑦|<1．求证：

    |(𝑥−𝑦)/(1−𝑥𝑦)|<1.
23. 𝑥,𝑦,𝑧 为实数，证明：

    公式：|x|+|y|+|z|\le|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|.
24. 已知 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛) 都是实数， 𝑛≥2，且 ∑_(𝑘=1)^(𝑛)|𝑥_(𝑘)|=1,∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)=0．求证：

25. 求证：对任意实数 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛)，存在自然数 𝑘,1≤𝑘≤𝑛，使得对任意 1≥𝑏_(1)≥𝑏_(2)≥⋯≥𝑏_(𝑛)≥0，都有 |∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑏_(𝑖)𝑎_(𝑖)|≤|∑_(𝑖=1)^(𝑘)𝑎_(𝑖)|.
26. 如果正数 𝑀 与数组 𝑎_(11),𝑎_(12),⋯,𝑎_(1𝑛);𝑎_(21),𝑎_(22),⋯,𝑎_(2𝑛);⋯⋯;𝑎_(𝑛1),𝑎_(𝑛2),⋯,𝑎_(𝑛𝑛) 使得对任意 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛)∈{−1,1,} 有 公式：\sum\limits_{k=1}^{n}|a_{k1}x_1+a_{k2}x_2+\cdots+a_{kn}x_n|\leq M，求证：

27. 求证：对任意 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛)∈[0,2],𝑛≥2，有 ∑_(𝑖,𝑗=1)^(𝑛)|𝑎_(𝑖)−𝑎_(𝑗)|≤𝑛^(2)．并确定对于什么样的 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛)上式中的等号成立．
28. 给定整数 𝑛≥3. 证明：对任意实数 𝑎_(𝑖)≥1(𝑖=1,2,⋯,𝑛), 都有

    公式：(a_1+a_2+\cdots+a_n)\left(\frac 1{a_1}+\frac 1{a_2}+\cdots+\frac 1{a_n}\right)\le n^2+\sum_{1\le i
29. 设 𝑛 为正整数，实数 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛) 满足 𝑥21+𝑥22+⋯+𝑥2𝑛≤1. 证明：

    公式： |x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\le \sqrt{n}\left(1+\frac 1n\right)+n^{\frac{n-1}2}x_1x_2\cdots x_n,

    并指出等号成立的充要条件．
30. 给定正整数 𝑛 和正实数 𝐶. 已知实数 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(2𝑛) 满足 𝑥_(1)+𝑥_(2)+⋯+𝑥_(2𝑛)=𝐶, |𝑥_(𝑘+1)−𝑥_(𝑘)|<(𝐶)/(𝑛) (𝑘=1,2,⋯,2𝑛,𝑥_(2𝑛+1)=𝑥_(1)). 证明：存在 𝑛 个整数 1≤𝑖_(1)<𝑖_(2)<⋯<𝑖_(𝑛)≤2𝑛，使得

公式：\left| x_{i_1}+x_{i_2}+\cdots+x_{i_n}-\frac C2\right|<\frac C{2n}.

31. 设 𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛) 为实数．证明：

公式：\left(\sum\limits_{1\leq i< j\leq n}|x_i-x_j|\right)^2\geq(n-1)\sum_{1\leq i< j\leq n}|x_i-x_j|^2.

32. 设 𝑛(𝑛≥3) 为正整数．证明：对于任意不全相同的 𝑛 个实数对 公式：(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)，有

公式：|\sum_{i=1}^{n}(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)|\leq\sum_{i=1}^{n}((x_i-\sum_{j=1}^{n}\frac{x_j}{n})^2+(y_i-\sum_{j=1}^{n}\frac{y_j}{n})^2)

约定： 𝑥_(𝑛+1)=𝑥_(1),𝑦_(𝑛+1)=𝑦_(1)；并求所有满足等号成立的正整数 𝑛.