Fan不等式相关问题的整理

最近在各个微信群里看到了一些不等式，都和Fan不等式有关．本文简单地做个整理：

设𝑏_(𝑖)∈ℝ，𝑖=1，2，⋯，𝑛，且∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑏_(𝑖)=0．则

公式：\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i} b_{i+1} \leqslant \cos \frac{2 \pi}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}^{2}．

其中𝑏_(𝑛+1)=𝑏_(1)．

这个不等式的证明可以参考韩京俊的《初等不等式的证明方法》一书，用的是拉格朗日乘子法，这里做个搬运．

证明 当 𝑏_(𝑖)=0（𝑖=1，2，⋯，𝑛） 时，原不等式显然成立．我们只需考虑 𝑏_(𝑖)≠ 0 的情形．

由齐次性，我们不妨设 ∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑏2𝑖=1 （注意这里已经有关于𝑏_(𝑖)的约束条件，想一下怎样的约束条件，这里能不妨设?）．我们来求∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑏_(𝑖)𝑏_(𝑖+1)的最大值，作Lagrange函数

公式：F=\sum_{i=1}^{n} b_{i} b_{i+1}+\lambda\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}\right)+\mu \sum_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}^{2}\right)

我们再设𝑏_(𝑛+1)=𝑏_(1)，𝑏_(0)=𝑏_(𝑛)，由条件极值的必要条件有

公式：b_{i-1}+b_{i+1}+\lambda-2 \mu b_{i}=0, i=1, \cdots, n

将这𝑛个式子相加，得𝜆=0，从而

公式：\left(b_{2}-k b_{1}\right)=m\left(b_{1}-k b_{n}\right)=m^{n}\left(b_{2}-k b_{1}\right)

其中𝑚𝑘=1，𝑚+𝑘=2𝜇．若𝑏_(2)−𝑘𝑏_(1)=0，那么𝑏_(𝑖+1)−𝑘𝑏_(𝑖)=0(𝑖=1，⋯，𝑛)，从而

公式：b_{1}=k^{n} b_{1} \Rightarrow k^{n}=1 \Rightarrow k=\cos \frac{2 j \pi}{n}+i \sin \frac{2 j \pi}{n}

若𝑏_(2)−𝑘𝑏_(1)≠0，那么

公式：m^{n}=1 \Rightarrow m=\cos \frac{2 i \pi}{n}+i \sin \frac{2 i \pi}{n}

而

公式：m+\frac{1}{m}=k+\frac{1}{k}=2 \mu \Rightarrow \mu=\cos \frac{2 t \pi}{n}

由于此时 𝑏_(𝑖) 的取值集合为紧集，故∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑏_(𝑖)𝑏_(𝑖+1)必能取到最大值，取到最大值时有

公式：\begin{aligned} &b_{i-1}+b_{i+1}+\lambda-2 \mu b_{i}=0 \\ \Rightarrow &b_{i}\left(b_{i-1}+b_{i+1}+\lambda-2 \mu b_{i}\right)=0 \\ \Rightarrow &\sum_{i=1}^{n} b_{i} b_{i+1}=\mu \end{aligned}

注意𝑡≠0，否则𝑚=𝑘=1，𝑏_(𝑖)=0 矛盾，故

当 公式：b_{i}=A \cos \dfrac{2 i \pi}{n}+B \sin \dfrac{2 i \pi}{n} 时 (其中 𝐴，𝐵 是任意实数)，𝜇=cos(2𝜋)/(𝑛)，从而命题得证．

这个方法比较高等，在高联中不能直接使用．事实上，用待定系数法直接凑均值不等式就能证明了．引入参数𝜆_(1)，𝜆_(2)，⋯，𝜆_(𝑛)，使得

为使得系数一致，参数需要满足

即为一道初联代数题的推广一文中的等式，也可以参考申强老师的文章强行封闭成一个圈．

此外，田开斌老师有一个非常巧妙的证法，见http://s2.sinaimg.cn/orignal/003oMgnOzy7KK2yVpAtd1

用同样的方法，可以证明如下不等式：

设𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)为正实数，𝑛≥2，则

公式：\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_ia_{i+1}\leq\cos\dfrac{\pi}{n+1}\sum\limits_{i=1}^na_i^2．

这两个不等式的关系在强行封闭成一个圈一文中也进行了详细的说明，这里不再赘述．

文章最后放一些类似问题．

1. 𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)∈ℝ，求证：

公式：\frac{x_{1}^{2}+\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} \leq \frac{1}{4 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4 n+2}\right)}

2. 𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)∈ℝ，求证：

公式：\frac{x_{2}^{2}+\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{4}\right)^{2} \cdots+\left(x_{n-2}+x_{n}\right)^{2}+x_{n-1}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} \leq 4 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{n+1}\right)

3. (2013年罗马尼亚TST)𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)∈ℝ_(+)，求证：

公式：\begin{align*} &\min \left\{x_{1}, \frac{1}{x_{1}}+x_{2}, \cdots, \frac{1}{x_{n-1}}+x_{n}, \frac{1}{x_{n}}\right\} \\ \leq& 2 \cos \left(\frac{\pi}{n+2}\right) \\ \leq &\max \left\{x_{1}, \frac{1}{x_{1}}+x_{2}, \cdots, \frac{1}{x_{n-1}}+x_{n}, \frac{1}{x_{n}}\right\} \end{align*}

4. (新星)给定正整数𝑛≥2，求最小的实数𝑐，使得对任意非负实数𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)，都存在 𝑖∈{1,2,⋯,𝑛} ，满足𝑥_(𝑖−1)+𝑥_(𝑖+1)≤𝑐𝑥_(𝑖)，其中𝑥_(0)=𝑥_(𝑛+1)=0．

注：题3，4其实都是题2的包装，题3经过换元后得到题4，题4本质上即要证题2．