赛题翻译
2021年墨西哥数学奥林匹克
公众号原标题：2021年墨西哥数学奥林匹克——中文翻译（显示标题做过精简）
正文文字 475 字公式 83 处1 图
正实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，𝑎_(3)为等差数列的连续三项．相异正实数𝑏_(1)，𝑏_(2)，𝑏_(3)也为等差数列的连续三项．能否分别以𝑎_(1)，𝑎_(2)，𝑎_(3)为长，𝑏_(1)，𝑏_(2)，𝑏_(3)为宽，构成三个面积相等的矩形？ 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵>90^(∘)，𝐷为𝐵𝐶上一点，满足𝐴𝐷⊥𝐵𝐶．Γ是以𝐵𝐶为直径的圆，过𝐷的直线ℓ与Γ切于点𝑃，交线段𝐴𝐶于点𝑀，交线段𝐴𝐵于𝑁．求证：𝑀为𝐷𝑃中点当且仅当𝑁为𝐴𝐵中点． 在一块𝑚×𝑛的棋盘中，左下角的小方格处有一只蚂蚁．这只蚂蚁需要到达右上角的小方格，每一次它只能走到自己右方、右上方、上方三个方格之一．然而棋盘中的一些小方格被熔岩所阻挡．已知：
蚂蚁能够完成到达右上角小方格的目标； 如果某个小方格被熔岩所阻挡，那么在其所在列上方的所有小方格也都被熔岩所阻挡． 记𝑃为蚂蚁经过偶数次到达右上角的路线数，𝐼为蚂蚁经过奇数次到达右上角的路线数．求𝑃−𝐼的所有可能值．
设△𝐴𝐵𝐶为锐角不等边三角形，且∠𝐵𝐴𝐶=60^(∘)，垂心为𝐻．圆𝜔_(𝑏)过点𝐻且和𝐴𝐵切于点𝐵，圆𝜔_(𝑐)过点𝐻且和𝐴𝐶切于点𝐶．
求证：𝜔_(𝑏)和𝜔_(𝑐)恰有𝐻一个公共点． 设𝑂为△𝐴𝐵𝐶的外心，求证：𝑂𝐻为𝜔_(𝑏)和𝜔_(𝑐)的公切线．
设𝑛=𝑎_(1)𝑎_(2)⋯𝑎_(𝑘−1)𝑎_(𝑘)^(¯)，定义𝑠(𝑛)如下：
若𝑘为偶数，则 
公式：s(n)=\overline{a_{1} a_{2}}+\overline{a_{3} a_{4}} \cdots+\overline{a_{k-1} a_{k}}；若𝑘为奇数，则 
公式：s(n)=a_1+\overline{a_{2} a_{3}} \cdots+\overline{a_{k-1} a_{k}}． 例如𝑠(123)=1+23=24，𝑠(2021)=20+21=41．
称𝑛为“算术的”，如果𝑠(𝑛)为𝑛的约数．求证：在任意小于2000021的连续198个正整数中，必有一个数是“算术的”．
求所有的非空集合𝐶_(1)，𝐶_(2)，𝐶_(3)，⋯，其中每个均为由正整数组成的有限集，并且满足如下性质：对任意正整数𝑛和𝑚，集合𝐶_(𝑛)中的元素个数加上集合𝐶_(𝑚)中的元素个数等于集合𝐶_(𝑛+𝑚)中元素的总和．
注：记|𝐶_(𝑛)|为集合𝐶_(𝑛)中的元素个数，𝑆_(𝑛)为集合𝐶_(𝑛)中所有元素之和．则问题可以描述为：
对任意正整数𝑛和𝑚，都有|𝐶_(𝑛)|+|𝐶_(𝑚)|=𝑆𝑛+𝑚．
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