2021年印度尼西亚数学奥林匹克

第一天

1. 黑板上顺次写着数字：1，2，3，4，5，6，7，8，9．Andi在每两个相邻的数字之间放置+（加号）或者−（减号），并计算出式子的值．求Andi不能得到的最小正奇数．
2. 设△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形．𝐷和𝐸分别为𝐴𝐵和𝐴𝐶的中点．设𝐿_(1)和𝐿_(2)分别为△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸的外接圆．𝐶𝐷交𝐿_(1)于点𝑀(𝑀≠𝐶)，交𝐿_(2)于点𝑁(𝑁≠𝐷)．若𝐷𝑀=𝐷𝑁，求证：△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形．
3. 若一个自然数能写成𝑝^(𝑛)的形式(其中𝑝为素数，𝑛为自然数)，则称其为素数幂．求𝑛的最大可能值，使得存在一个素数幂数列𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)，满足对任意3≤𝑖≤𝑛，都有𝑎_(𝑖)=𝑎_(𝑖−1)+𝑎_(𝑖−2)．
4. 正实数𝑥，𝑦，𝑧满足𝑥+𝑦+𝑧=3．求证：

公式：\begin{align*} &2\sqrt{x+\sqrt{y}}+2\sqrt{y+\sqrt{z}}+2\sqrt{z+\sqrt{x}}\\ \leq&\sqrt{8+x-y}+\sqrt{8+y-z}+\sqrt{8+z-x} \end{align*}

第二天

5. 已知实系数多项式𝑃(𝑥)=𝑥^(2)+𝑟𝑥+𝑠有两个不同实根，且两根均小于−1，两根之差小于2．求证：对任意实数𝑥，都有𝑃(𝑃(𝑥))>0．
6. 黑板上写着𝑛个自然数．每一次操作，能够擦去黑板上的两个数𝑎和𝑏，并将其更改为gcd(𝑎,𝑏)和lcm(𝑎,𝑏)−gcd(𝑎,𝑏)．求证：在有限次操作后，黑板上所有的数均相等．
7. △𝐴𝐵𝐶的外接圆为ℓ．△𝐴𝐵𝐶内部一点𝑀满足𝐴𝑀平分∠𝐵𝐴𝐶．以𝑀为圆心，𝑀𝐵为半径的圆交ℓ于点𝐷（异于点𝐵），交𝐵𝐶于点𝐸（异于点𝐵）．设𝑃为圆ℓ上不含点𝐴的弧𝐵𝐶的中点．求证：𝐴𝑃平分∠𝐷𝑃𝐸当且仅当∠𝐵=90^(∘)．
8. 在一个100×100的棋盘上，放置一些1×3和3×1的小木块，满足以下条件：

• 初始棋盘的每一格至多被一个小木块所覆盖；
• 除了一个格子外，小木块覆盖了棋盘剩余的每一格；
• 小木块的边平行于棋盘的边放置． 设共用了𝐻个1×3的小木块，𝑉个3×1的小木块．求数对(𝐻,𝑉)的所有可能值．