Mathematical Reflections 2021年第六期征解题

初级组(Junior Preblems)

J571． 二次方程

公式：m^{5} x^{2}-\left(m^{7}+m^{6}-m^{4}-m\right) x+m^{8}-m^{5}-m^{3}+1=0

的两根为𝑥_(1)，𝑥_(2)，其中𝑚为实参数．求证： 𝑥_(1)=1当且仅当𝑥_(2)=1．

J572． 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)=3．求证：

J573． 求证：在任意三角形△𝐴𝐵𝐶中，有

公式：\sin \frac{A}{2}+2 \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \leq 1．

J574． 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=1，且

公式：\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}\left(b+\frac{1}{b}\right)^{2}-\left(b+\frac{1}{b}\right)^{2}\left(c+\frac{1}{c}\right)^{2}+\left(c+\frac{1}{c}\right)^{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}=1．

求证：𝑎=1．

J575． 过圆𝜔外一点𝐶，作圆的两条切线，分别切圆于点𝐴，𝐵．点𝐷在线段𝐴𝐵上，𝑀为𝐶𝐷中点．过𝑀作𝜔的一条切线，与𝜔切于点𝑋．求证：𝐶𝑋和𝐷𝑋垂直．

J576． 正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足

求证：

公式：a b+a c+a d+b c+b d+c d-3(a+b+c+d) \geq 18．

高级组(Senior Problems)

S571． 非零实数𝑎满足存在实数𝑏≥1，使得

求证：

S572． 求证：在任意三角形△𝐴𝐵𝐶中，有

公式：\frac{9}{4} \sqrt{\frac{r}{2 R}} \leq \sqrt{3} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} \leq 1+\frac{r}{4 R}．

S573． 𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四点顺次排列在一条直线上．设𝑂_(1)和𝑂_(2)分别为以𝐴𝐵和𝐶𝐷为直径的圆．圆𝜔同时和𝑂_(1)，𝑂_(2)外切，圆Ω同时和𝑂_(1)，𝑂_(2)内切．𝜔和Ω交于𝐸，𝐹两点．求证：∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶𝐹𝐷．

S574． 求所有实数𝑥，使得

公式：\left\{\frac{6 x^{2}+168 x+2022}{x^{2}+24 x+237}\right\}=\frac{6}{7}．

其中{𝑥}=𝑥−[𝑥]为𝑥的小数部分．

S575． 锐角三角形△𝐴𝐵𝐶的垂心为𝐻．𝐴_(1)，𝐵_(1)，𝐶_(1)分别为𝐵𝐶，𝐶𝐴，𝐴𝐵的中点．𝐴_(2)，𝐵_(2)，𝐶_(2)分别为线段𝐻𝐴_(1)，𝐻𝐵_(1)，𝐻𝐶_(1)上的点，且满足

公式：\frac{H A_{2}}{A_{2} A_{1}}=\frac{H B_{2}}{B_{2} B_{1}}=\frac{H C_{2}}{C_{2} C_{1}}=2．

求证：𝐴𝐴_(2)，𝐵𝐵_(2)，𝐶𝐶_(2)三线共点．

S576． 正实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)满足𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(𝑛)=√(𝑛)．求证：

公式：\left(a_{1}+\frac{1}{a_{1}}\right)^{2}+\left(a_{2}+\frac{1}{a_{2}}\right)^{2}+\cdots+\left(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\right)^{2} \geq(n+1)^{2}．

大学组(Undergraduate Problems)

U571． 设𝐴为𝑛×𝑛的实矩阵，实数𝛼≠0．求证：若𝐴^(3)=𝐼且(𝐴−𝛼𝐼)^(3)=0，则对任意𝑛×𝑛的矩阵𝐵，都有𝐴𝐵=𝐵𝐴．

U572． 计算：

U573． 求证：

U574． 连续函数𝑓：[𝑎,𝑏]→ℝ满足∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥>0．求证：对任意正实数𝑐<(𝑏−𝑎)^(2)，存在𝜀∈(𝑎,𝑏)，使得

U575． 连续函数𝑓：[0,1]→ℝ满足𝑓(0)=0．求证：存在𝑐∈(0,1)，使得

公式：\int_{0}^{c}(1-x)^{2} f(x) d x=(1-c) \int_{0}^{c} f(x) d x．

U576． 求所有三元正整数组(𝑚,𝑛,𝑝)，满足存在实系数多项式𝑃(𝑥)，使得

公式：P(x)+x^{m} P(1-x)=\left(x^{2}-x+1\right)^{n}\left(x^{2}-x-1\right)^{p}．

并确定是否有无穷多个这样的多项式．

奥林匹克问题(Olympiad Problems)

O571． 正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足

公式：a b c d=a b+a c+a d+b c+b d+c d．

求证：

公式：\sum\limits_{sym} a b c-2 \sum\limits_{sym} a b+3 \sum\limits_{sym} a \geq 36(\sqrt{6}-2)．

O572． 𝑎，𝑏，𝑐，𝑑为正整数，𝐶为非零整数．映射𝑓：ℤ→ℤ满足对任意整数𝑚，𝑛，都有𝑓(𝑚𝑛)=𝑓(𝑚)𝑓(𝑛)．且存在𝑁满足对任意𝑛≥𝑁，都有

公式：f(c(a n+b)+d) \equiv C \pmod{a n+b}．

求证：存在整数𝑒，使得对任意和𝑎𝑐互素的整数𝑛，都有|𝑓(𝑛)|=|𝑛|^(𝑒)．

O573． 求所有函数𝑓：ℝ→ℝ，满足对任意𝑥，𝑦∈ℝ，都有

公式：x+f\left(x^{2}+f(y)\right)=x f(x)+f(x+y)．

O574． 线段𝐴𝐵为圆Γ的一条弦．圆𝜔_(1)和𝜔_(2)分别和Γ内切于点𝑃和点𝑄，且和𝐴𝐵交于同一点．弦𝐴𝐵和𝑃𝑄交于点𝐷．设𝐶为Γ上包含点𝑃的弧𝐴𝐵的中点．求证：直线𝐶𝐷过𝜔_(1)的圆心．

O575． 设{𝐿_(𝑛)}_(𝑛≥1)为Lucas数列，𝐿_(1)=1，𝐿_(2)=3，对于𝑛=2，3，⋯，有𝐿_(𝑛+2)=𝐿_(𝑛+1)+𝐿_(𝑛)．求证：若存在正整数𝑚，使得

O576． 设△𝐴𝐵𝐶的三边长为𝑎，𝑏，𝑐，三边所对应的中线长分别为𝑚_(𝑎)，𝑚_(𝑏)，𝑚_(𝑐)．求证：

公式：m_{a}^{3}\left(b c-a^{2}\right)+m_{b}^{3}\left(c a-b^{2}\right)+m_{c}^{3}\left(a b-c^{2}\right) \geq 0．