Mathematical Reflection 2021年第二期征解题

J547． 求所有素数𝑝使得

也为一个素数．

J548． 𝑎，𝑏，𝑐，𝑥，𝑦均为正实数，且𝑥+𝑦=1．求证：

公式：\begin{align*} &\sqrt{\dfrac{a^3}{xa+yb}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{xb+yc}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{xc+ya}}\\ \geq&a+b+c \end{align*}

J549． 𝑎，𝑏，𝑐为正实数．求证：

公式：\begin{align*} &\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}-\dfrac{9}{a+b+c}\\ \geq&\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \end{align*}

J550． 𝑎，𝑏，𝑐为实数，且𝑎≤𝑐，𝑏≤𝑐，𝑎𝑏𝑐=1，𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=0．求最大的实数𝑘，使得

J551． 𝑀为正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐶𝐷上一点．𝐴𝑀和𝐵𝐷交于点𝐸．过点𝐸作𝐴𝑀的垂线，交𝐵𝐶于点𝑁．𝐴𝑁交𝐵𝐷于点𝐹，𝐸𝑁交𝐹𝑀于点𝐾．求证：𝐴𝐾和𝑀𝑁垂直．

J552． 𝑥，𝑦，𝑧为正实数，且

求证：

公式：\begin{align*} &2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}\right)\\ \leq&3\sqrt{(x+1)(y+1)(z+1)} \end{align*}

S547． 𝑎和𝑏为小于2的正实数，且𝑎𝑏=2．求关于𝑥的方程

公式：4(x^2+ax+b)(x^2+bx+a)+a^3+b^3=9

的实数解．

S548． 非负实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足𝑎+𝑏+𝑐+𝑑=10．求证：

S549． 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足

求证：

公式：\begin{align*} &a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\\ \leq&\sqrt{1+4a-a^2}+\sqrt{1+4b-b^2}+\sqrt{1+4c-c^2}\\ \leq&ab+bc+ca+3 \end{align*}

S550． 𝑎，𝑏，𝑐为正实数．求证：

公式：\begin{align*} &\sqrt{a^2+2ab}+\sqrt{b^2+2bc}+\sqrt{c^2+2ca}\\ \geq&\sqrt{3ab}+\sqrt{3bc}+\sqrt{3ca} \end{align*}

S551． △𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐，内切圆半径为𝑟，外接圆半径为𝑅．求证：

公式：\dfrac{R}{r}+(1+\sqrt{5})\geq (3+\sqrt{5})\cdot \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}

并指出等号何时成立．

S552． 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=8．已知在△𝐴𝐵𝐶内部存在一点𝑃，满足：𝑃𝐵=5；𝑃𝐶，𝐴𝐶，𝐵𝐶成等差数列，公差为2；∠𝐵𝑃𝐶=2∠𝐵𝐴𝐶．求满足上述条件的所有△𝐴𝐵𝐶．

U547． 𝑎，𝑏，𝑐，𝑑为实数，且方程

公式：x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+1022=0

的所有根均为不大于−1的实数．求证：

U548． 已知𝑛为正整数，计算

U549． 计算：

U550． 设

公式：f_n(x)=\prod\limits_{k=1}^n(x^{2^k}-x^{2^{k-1}}+1)

求证：对于任意|𝑥|<1，均有

U551． 设正系数多项式

的系数满足𝑎2𝑘>9𝑎_(𝑘−1)𝑎_(𝑘+1)，其中𝑘=1,⋯,𝑑−1．求证𝑃(𝑥)有𝑑个不同的实根．

U552． 求所有实系数多项式𝑃(𝑥)，满足

公式：\begin{align*} &P(P(a+b))-4abP(a+b)+4a^2b^2\\ \geq&P(a^2)+P(b^2)\\ \geq&P(a^2+b^2)-P(\sqrt{2}ab) \end{align*}

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奥林匹克问题

O547． △𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐，内切圆半径为𝑟，外接圆半径为𝑅．求证：

公式：\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c+a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a+b}\right)^2+\dfrac{17r}{18R}\geq\dfrac{11}{9}

O548． 𝑚,𝑛,𝑝≥2为正整数．求由{1,2,⋯,𝑚}中的元素构成的𝑛×𝑝矩阵的数目，满足矩阵中的每个元素与其所在行、列的相邻元素不同．

O549． △𝐴𝐵𝐶的内切圆半径为𝑟，外接圆半径为𝑅．求证：

公式：\begin{align*} &\dfrac{\cos A}{\sin^2A}+\dfrac{\cos B}{\sin^2B}+\dfrac{\cos C}{\sin^2C}\\ \geq&\dfrac{7}{4}\left(\dfrac{R}{r}+\dfrac{r}{R}\right)-\dfrac{19}{8}\\ \geq&\dfrac{1}{16}\left(21\dfrac{R}{r}-10\right)\\ \geq&\dfrac{R}{r} \end{align*}

O550． 在△𝐴𝐵𝐶中，半径为𝑟的内切圆与𝐵𝐶边切于点𝐷．点𝑋在∠𝐵𝐴𝐶内部，但在△𝐴𝐵𝐶外部，满足：

𝐵𝐷⋅𝐵𝑋=𝐶𝐷⋅𝐶𝑋

及

tan(1)/(2)∠𝐶𝑋𝐵=(𝑟)/(𝐵𝐶)

求证：点𝑋在𝐴-旁切圆上．

O551． △𝐴𝐵𝐶的三边长为𝑎，𝑏，𝑐，半周长为𝑠，面积为Δ．求证：

公式：a(s-a)\cos\dfrac{B-C}{4}+b(s-b)\cos\dfrac{C-A}{4}+c(s-c)\cos\dfrac{A-B}{4}\geq 2\sqrt{3}\Delta

O552． △𝐴𝐵𝐶的内心为𝐼．内切圆与𝐵𝐶，𝐶𝐴，𝐴𝐵的切点分别为𝐷，𝐸，𝐹．记△𝐴𝐸𝐹，△𝐵𝐹𝐷，△𝐶𝐷𝐸的垂心分别为𝐴_(1)，𝐵_(1)，𝐶_(1)．求证：

（1）△𝐷𝐵_(1)𝐶_(1)的外接圆经过𝐴在𝐵𝐶边的射影；

（2）△𝐷𝐵_(1)𝐶_(1)，△𝐸𝐶_(1)𝐴_(1)，△𝐹𝐴_(1)𝐵_(1)的外接圆过同一点，这点即为△𝐴𝐵𝐶的费尔巴哈（Feuerbach）点．