Mathematical Reflections 2022年第一期征解题

Junior Problems

J577． 正实数𝑎，𝑏满足𝑎+𝑏=1．求证：

J578． 设𝑎为正实数，𝑓(𝑥)=𝑎^(𝑥)+(1)/(𝑎^(𝑥))．已知𝑓((2)/(3))=1+2√(2)，求𝑓((3)/(2))的值．

J579． 求所有整数对(𝑥,𝑦)满足

J580． 求方程的实数解：

J581． 实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足

公式：a b+a c+a d+b c+b d+c d-a b c d=11

求证：

公式：\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)\left(c^{2}+1\right)\left(d^{2}+1\right) \geq 100

J582． 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于圆Γ，圆心为𝑂．直线𝐴𝐶和𝐵𝐷相交于点𝑋，Γ_(1)为△𝑋𝐴𝐵的外接圆．直线𝐴𝐷再次交Γ_(1)于点𝑁，直线𝐵𝐶再次交Γ_(1)于点𝑀．已知凸六边形𝑂𝑁𝐷𝑋𝐶𝑀的面积为𝐷𝐶⋅𝐴𝐵．求∠𝐴𝑋𝐵．

Senior Problems

S577． 整数𝑘，𝑚，𝑛满足𝑘+𝑚+𝑛=1．求证：

公式：\left(k^{2}+m^{2}+n^{2}+7\right)^{2}+(k m n-4)^{2}

S578． 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=1．求证：

公式：\frac{1}{1+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}+a^{2}} \leq \frac{9}{5}

S579． 以𝑎，𝑏，𝑐为三边的三角形面积为𝑆．正实数𝛼，𝛽，𝛾满足

公式：\alpha b^{2} c^{2}+\beta c^{2} a^{2}+\gamma a^{2} b^{2} \geq 8 S^{2}

S580． 求证：不存在正整数𝑎，𝑏，𝑐满足

公式：a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}-3 a b c=2022

S581． 素数𝑝满足𝑝≡1(mod4)．求证：存在正整数𝑎满足

S582． 数列{𝑎_(𝑛)}定义如下：𝑎_(1)=1，𝑎_(2)=2，且对于任意𝑛≥1，都有

公式：a_{n+2}=(n+2)a_{n+1}-na_n+2n+1

Undergraduate Problems

U577． 对正整数𝑛，计算

其中{𝑎}表示𝑎的小数部分．

U578． 计算：

公式：\iint_{D} \frac{y \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}} / 2} d x d y

其中𝐷={(𝑥−1)^(2)+𝑦^(2)≤1,𝑦≥0}．

U579． 设𝑥_(0)为整数，𝑃(𝑥)为整系数多项式．数列{𝑥_(𝑛)}定义如下：对任意𝑛≥1，𝑥_(𝑛)=𝑥𝑛𝑛−1+𝑃(𝑛)．求证：对任意正整数𝑚≥2，存在正整数𝑇，使得

U580． 已知两个半径为1且相切的圆，和它们的一条外公切线．左边的圆为白色的，右边的圆为灰色的．第三个较小的圆与较大的两个圆、公切线同时相切，且也是灰色的．按照如下规则插入无穷多个灰色圆：后续的每个圆和它前一个圆、最大的灰色圆、白色圆均相切．求灰色圆覆盖的总面积．

U581． 正实数𝑟>𝑠，且𝑟和𝑠互素．互异的非常数复系数多项式𝑃(𝑥)和𝑄(𝑥)满足

公式：P(x)^{r}-P(x)^{s}=Q(x)^{r}-Q(x)^{s}

U582． 设𝑓：ℝ→ℝ为二阶可微函数，𝑢：ℝ^(𝑛)→ℝ满足𝑢(𝑥)=𝑓(∥𝑥∥)．记∇^(2)(𝑢)为𝑢的Hessian矩阵，用𝑓表示det(∇^(2)(𝑢))．

Olympiad Problems

O577． 正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足

公式：a b c+a b d+a c d+b c d=a b+a c+a d+b c+b d+c d

且不存在其中两个数小于1，另两个数大于1的情况．求证：

O578． 求方程的正整数解：

O579． 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎+𝑏+𝑐=3．求证：

公式：(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)+\frac{48}{a b+b c+c a} \geq 17

O580． 在△𝐴𝐵𝐶中，求证：

公式：\frac{R}{r}+\frac{r}{R}+\frac{3}{2} \geq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{2 a b c}

O581． 设△𝐴𝐵𝐶为不等边的非直角三角形．三条高分别为𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹，三边中点分别为𝑀_(𝑎)，𝑀_(𝑏)，𝑀_(𝑐)．𝐺为△𝐴𝐵𝐶的重心，𝑁为△𝐴𝐵𝐶的九点圆圆心．𝐸𝐹和𝑀_(𝑏)𝑀_(𝑐)交于点𝑃，𝑃𝐺和𝐵𝐶交于点𝑄．已知𝐴𝑁和𝐸𝐹平行，求证：𝑂𝑄平行于△𝐷𝐸𝐹的欧拉线．

O582． 𝑃为△𝐴𝐵𝐶内部一点，𝑄为𝑃关于△𝐴𝐵𝐶的等角共轭点．𝑀和𝑁分别为𝑃和𝑄在𝐵𝐶上的投影．𝑃^(′)和𝑄^(′)分别为𝐴𝑃和𝐴𝑄与△𝐴𝐵𝐶外接圆的另一个交点．求证：𝑀𝑃^(′)和𝑁𝑄^(′)交于直线𝑃𝑄上．