北京大学2022年寒假学堂数学试题（理科）

一共20道单项选择题，时间为1小时。

1. 已知公式：A=\{(x,y)\mid x+y+1\geq \sqrt{2(x^2+y^2)}\}，𝐵={(𝑥,𝑦)∣|𝑥−𝑎|+|𝑦−1|≤1}，𝐴∩𝐵=∅，则𝑎的取值范围为( )．
2. 𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)=1，(𝑏)/(𝑎)，(𝑐)/(𝑏)，(𝑎)/(𝑐)∈[(1)/(2),2]，使𝑎𝑏+2𝑏𝑐取得最大值的(𝑎,𝑏,𝑐)的组数为( )．
3. 复数𝑧满足|𝑧|≤2，∣(𝑧^(2)+𝑧+1)/(𝑧+(1)/(2)−(√(3))/(2)𝑖)∣的最大值为( )．
4. 凸四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐶交𝐵𝐷于点𝐸，𝑆_(△𝐴𝐵𝐸)=𝑆_(△𝐷𝐸𝐶)=1．𝐴𝐵^(2)+𝐵𝐶^(2)+𝐶𝐷^(2)+𝐷𝐴^(2)的最小值为( )．
5. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑀为𝐵𝐶中点，𝐴𝐵=3，𝐴𝑀=1，cos∠𝐵𝐴𝐶的最大值为( )．
6. 𝑀，𝑁分别为△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵，𝐴𝐶上的点，且满足𝐴𝑀=𝜆𝑀𝐵，𝐴𝑁=𝜇𝑁𝐶，已知𝜇+𝜆=𝜇𝜆，则𝑀𝑁恒过△𝐴𝐵𝐶的( )．（填五心）
7. 在各数位皆由{1,2,3}中元素构成的不超过10^(8)的数中，能被3整除的数的个数为( )．
8. (𝑥^(2)+[𝑥]+1)^(2)+[𝑥^(2)+[𝑥]+1]=𝑥−1的解的个数为( )．（其中[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，如[−3.5]=−4，[2.5]=2）
9. 𝑎_(𝑖)∈ℕ^(+)，∑_(𝑖=1)^(50)𝑎_(𝑖)=110，公式：\left(\sum\limits_{i=1}^{50}a_i^2\right)_{\max}+\left(\sum\limits_{i=1}^{50}a_i^2\right)_{\min}=( )．
10. 下列选项中不是函数公式：f(x)=|\sin x|+|\cos x|+2\sin 2x的对称轴的是( )．
    A.(𝜋)/(4) B.(𝜋)/(2) C.(3)/(4)𝜋 D.其余选项都不正确
11. 𝑎_(1)，𝑎_(2)，𝑎_(3)，𝑎_(4)，𝑏_(1)，𝑏_(2)，𝑏_(3)，𝑏_(4)满足公式：(a_1+b_i)(a_2+b_i)(a_3+b_i)(a_4+b_i)=1对𝑖=1,2,3,4成立(𝑏_(𝑖)≠0)．记公式：m_i=(a_i+b_1)(a_i+b_2)(a_i+b_3)(a_i+b_4)则𝑚_(1)=𝑚_(2)=𝑚_(3)=𝑚_(4)=( )．
12. 𝑥_(𝑖)(1≤𝑖≤8)的和为8，其中最大的数不超过最小的数的3倍，则∑_(𝑖=1)^(8)𝑥2𝑖的最大值为( )．
13. {𝑥𝑦+𝑧=20;𝑥+𝑦𝑧=35;的正整数解(𝑥,𝑦,𝑧)的组数为( )．
14. 在四面体𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=1，𝐶𝐷=√(3)，𝐴𝐵与𝐶𝐷所在的直线间的距离为2，且𝐴𝐵与𝐶𝐷所成角为60^(∘)，则𝐴𝐵𝐶𝐷的体积为( )．
15. 实系数四次方程𝑓(𝑥)=0的解成等差数列．则实系数方程𝑓^(′)(𝑥)=0的最大解和最小解之差为( )．
16. 点(𝑚,−𝑚)到𝑥𝑦=1上的点的距离不超过4(𝑚>0)，则𝑚的最小值为( )．
17. 对任意的实数𝑎，𝑏，存在𝑥∈[0,3𝜋]使得公式：f(x)=|\sin x+\cos x+ax+b|\geq c，则𝑐的最大值为( )．
18. 𝑥+2𝑦+3𝑧=1，则√(𝑥^(2)+2𝑧^(2))+√(2𝑦^(2)+𝑧^(2))的最小值为( )．
19. 空间中有2022个点，任意两点连线的中点总数的最小值为( )．
20. 2^(𝑠)+2^(𝑡)+2^(𝑚)(0≤𝑠<𝑡<𝑚，𝑠，𝑡，𝑚为整数)组成的数由小到大排列构成数列{𝑎_(𝑛)}，则𝑎_(50)=( )．