2022年第3届“亚历山大-布拉泽夫斯基-凯恩”纪念赛

高级组

第一天

1. 给定一个6×6的方格，其中每个小方格被染为红、绿二色之一．已知不存在同行、同列、同对角线的连续4个同色小方格．如果一个2×2的方格恰好有一条红色对角线和一条蓝色对角线，则称它是“像国际象棋”的．求“像国际象棋”的方格个数的最大值．
2. 给定整数𝑛≥2，正实数𝑥_(1)<𝑥_(2)<⋯<𝑥_(𝑛)，𝑦_(1)<𝑦_(2)<⋯<𝑦_(𝑛)．求证：对任意𝐶∈(−2,2)，有

   公式：\sum_{i=1}^n\sqrt{x_i^2+Cx_iy_i+y_i^2}<\sum_{i=1}^n\sqrt{x_i^2+Cx_iy_{i+1}+y_{i+1}^2}

   其中𝑦_(𝑛+1)=𝑦_(1)．
3. 求所有三元正整数组(𝑥,𝑦,𝑧)，满足𝑥^(2)+𝑦^(2)+𝑥+𝑦+𝑧=𝑥𝑦𝑧+1．

第二天

4. 设锐角△𝐴𝐵𝐶的内切圆为𝜔，内心为𝐼，𝐴所对的旁切圆为𝜔_(𝑎)．𝜔和𝐵𝐶切于点𝑋，𝜔_(𝑎)和𝐵𝐶切于点𝑌．点𝑍为𝐴𝑌和𝜔的两个交点中更靠近𝐴的一点．点𝐻为点𝐴在𝐵𝐶上的垂足．求证：𝐻𝑍，𝐼𝑌，𝐴𝑋三线共点．
5. 如果在正整数𝑛的二进制表示的数码中，1的个数严格大于0的个数，则称𝑛是“值得纪念的”．（例如，25是“值得纪念的”，因为25=(11001)_(2)，其中1的个数大于0的个数）问：是否有无穷多个“值得纪念的”完全平方数？
6. 对任意整数𝑛≥1，考察由同一圆上等距分布的2𝑛个点组成的集合𝑃_(2𝑛)．点集的一个完美匹配由恰以𝑃_(2𝑛)中的所有点为端点的𝑛条线段组成．记M_(𝑛)为𝑃_(2𝑛)的所有非交叉的完美匹配（即线段不相交）组成的集合．如果完美匹配𝑀∈M_(𝑛)关于圆心中心对称后和自身重合，则称𝑀为中心对称的．用𝑛表示M_(𝑛)中中心对称的完美匹配的个数．

初级组

第一天

1. 𝐴𝐷为锐角△𝐴𝐵𝐶的一条高（𝐷∈𝐵𝐶）．过𝐶作𝐴𝐵的平行线和𝐴𝐷的垂直平分线交于点𝐺．求证：𝐴𝐶=𝐵𝐶当且仅当∠𝐴𝐺𝐶=90^(∘)．
2. 同高级组第1题
3. 同高级组第2题

第二天

4. 求所有正整数𝑛，使得集合𝑆={1,2,3,⋯,2𝑛}能被划分为两个不相交的𝑛元子集𝑆_(1)和𝑆_(2)，使得𝑆_(1)中所有元素之和能被𝑆_(2)中所有元素之和整除．
5. 同高级组第4题
6. 同高级组第5题