2021年爱沙尼亚TST

第一天

1. Juku在家中收藏了《Harrie Totter》系列丛书的前100册．对任意1≤𝑖<𝑗≤100，如果书架上第𝑗册摆在第𝑖册之前，则称有序数对(𝑖,𝑗)是颠倒的．Juku想把所有的书按照某种顺序摆在书架上，使得不存在1≤𝑖<𝑗<𝑘≤100，满足(𝑖,𝑗)和(𝑗,𝑘)均是颠倒的．在此情况下，最多可能有多少个颠倒的数对？
2. 求所有整系数多项式𝑃(𝑥)，使得它在1，2，⋯，2021处的值恰好为1，2，⋯，2021的某个排列．
3. 2020年IMO SL G3

第二天

1. (a)平面上有2𝑛条被标记的射线，𝑛为常数．已知任意两条被标记射线的端点和方向均不同，求证：存在一条不通过任意被标记的射线端点，且恰好和𝑛条被标记的射线相交的直线．
   (b)如果去掉“任意两条被标记射线的端点均不同”这一条件，结论是否成立？
2. 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎𝑏𝑐=1．求证：

   (𝑎)/(1+𝑏)+(𝑏)/(1+𝑐)+(𝑐)/(1+𝑎)≥(3)/(2)
3. 2020年IMO SL N4

第三天

1. 2020年IMO SL C1
2. 2020年IMO SL G1
3. 2020年IMO SL N2

第四天

1. 黑板上写有一个大于1的自然数．在每一步操作中，Igor擦去黑板上的数字𝑛，并写上𝑛+(𝑛)/(𝑝)，其中𝑝为𝑛的某个素因子．
   求证：如果Igor一直进行如上操作，他能无穷多次选取3作为上述的素因子𝑝．
2. 求所有实系数多项式𝑃(𝑥,𝑦)，使得对于任意实数𝑥和𝑦，都有𝑃(𝑥+𝑦,𝑥−𝑦)=2𝑃(𝑥,𝑦)．
3. 2020年IMO SL G4