赛题翻译
2021年荷兰数学奥林匹克
公众号原标题：2021年荷兰数学奥林匹克——中文翻译（显示标题做过精简）
正文文字 534 字约 2 分钟公式 41 处2 图
Niek有16块正方形卡片，每块的一面为黄色，另一面为红色．他将卡片摆成一个4×4的大正方形，其中一些卡片黄色一面朝上，一些卡片红色一面朝上．对于每种摆放方式，如下计算其“单色性”．对每一对有公共边的卡片，按如下规则分别记为+1或−1：如果两块有公共边的卡片颜色相同，则记为+1；如果两块有公共边的卡片颜色不同，则记为−1．然后将所有得到的数全部相加（结果可能为负）．例如，如果将卡片如下图摆放，则存在15对有公共边的卡片颜色相同，存在9对有公共边的卡片颜色不同． 
因此，上图的“单色性”为：15⋅(+1)+9⋅(−1)=6．Niek考察了所有卡片的摆放方法，并列出所有能取得的“单色性”的值．
(a)求出Niek列出的数中最大的三个数，并说明理由．
(b)求出Niek列出的数中最小的三个数，并说明理由．
(c)求出Niek列出的数中最小的正数，并说明理由．有𝑛(≥4)支队伍参加一次比赛，其中每两支队伍至多进行一场比赛．如果任意四支参赛队伍之间恰好进行了三场比赛，则称这次比赛是“平衡的”．求𝑛的最大值，使得存在𝑛支队伍参加的“平衡的”比赛． 一只青蛙在平面上的网格点上跳来跳去，每次从一个网格点跳到另一个网格点．青蛙从点(0,0)出发，依次进行如下跳跃：水平方向跳跃1个单位长度，竖直方向跳跃2个单位长度，水平方向跳跃3个单位长度，竖直方向跳跃4个单位长度⋯⋯求所有的正整数𝑛，使得青蛙能在𝑛次跳跃后回到点(0,0)． 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90^(∘)．点𝑀为𝐴𝐵的中点，过𝑀作𝐵𝐶的平行线交𝐴𝐶于点𝐷．𝐶𝐷的中点为点𝐸，𝐵𝐷⊥𝐶𝑀．求证：
(a)△𝐶𝑀𝐸和△𝐴𝐵𝐷相似．
(b)𝐸𝑀⊥𝐴𝐵．
正整数𝑛满足：对𝑛的任意正约数𝑑，都有𝑑+1∣𝑛+1．求证：𝑛为素数．
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