多面体欧拉公式的几个简单应用

在凸多面体中，其顶点(vertex)数𝑉，边(edge)数𝐸，面(face)数𝐹满足如下关系式：

𝑉−𝐸+𝐹=2

例如：四面体有4个顶点、6条边、4个面，4−6+4=2．
三棱柱有6个顶点、9条边、5个面，6−9+5=2．
正方体有8个顶点、12条边、6个面，8−12+6=2．

该公式最早由欧拉在1750年提出，大部分证明均采用了数学归纳法，以下链接中给出了20种证明．

https://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/eul

这里给出Cauchy的证明：

从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络．不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段．正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的．但是，点、边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部)．

重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数（也是欧拉示性数）𝑉−𝐸+𝐹的额外变换．

1. 若有一个多边形面有3条边以上，我们划一个对角线．这增加一条边和一个面．继续增加边直到所有面都是三角形．
2. 除掉只有一条边和外部相邻的三角形．这把边和面的个数各减一而保持顶点数不变．
3. （逐个）除去所有和网络外部共享两条边的三角形．这会减少一个顶点、两条边和一个面．

重复使用第2步和第3步直到只剩一个三角形．对于一个三角形𝐹=2（把外部数在内），𝐸=3，𝑉=3．所以𝐹−𝐸+𝑉=2．

证毕．

下面给出欧拉公式的几个简单应用：

1. 证明：柏拉图多面体（正多面体，即每个面都是全等的正多边形）只有5种．

证明：

设正多面体每个面都有𝑛(𝑛≥3)条边，每个顶点关联𝑘(𝑘≥3)条边，并设多面体有𝑉个顶点，𝐸条边，𝐹个面．

• 每个面有𝑛条边，故共有𝑛𝐹条边，而每条边被两个相邻的面各计算一次，于是有

  𝑛𝐹=2𝐸
• 每个面有𝑘条边，故共有𝑘𝑉条边，而每条边被两个相邻的顶点各计算一次，于是有

  𝑘𝑉=2𝐸

  代入欧拉公式

  𝑉−𝐸+𝐹=2

  得

即

1. 𝑛=3，则(1)/(𝑘)=(1)/(6)+(1)/(𝐸)>(1)/(6)，即𝑘<6．故𝑘=3,4,5．
   𝑘=3时，𝐸=6，𝐹=4，𝑉=4．
   𝑘=4时，𝐸=12，𝐹=8，𝑉=6．
   𝑘=5时，𝐸=30，𝐹=20，𝑉=12．
2. 𝑘=3，则则(1)/(𝑛)=(1)/(6)+(1)/(𝐸)>(1)/(6)，即𝑛<6．故𝑛=3,4,5．
   𝑛=3时，𝐸=6，𝐹=4，𝑉=4．
   𝑛=4时，𝐸=12，𝐹=6，𝑉=8．
   𝑛=5时，𝐸=30，𝐹=12，𝑉=20．

去掉一个重复的情况，可得正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种．

类似可证明如下结论：

2．证明：阿基米德多面体（半正多面体，即由边数不全相同的正多边形为面的多面体）只有13种．

证明略．

在阿基米德多面体中，有一种多面体被我们所熟知，即由正五边形和正六边形组成的32面体，富勒烯𝐶_(60)（又称足球烯）的结构就是如此．当然，这也是我们常见的足球表面黑白色块的组成方式，𝐶_(60)因此得名足球烯．

3．已知上述图形由正五边形和正六边形组成，且每个正五边形周围有5个正六边形，每个正六边形周围有3个正五边形和3个正六边形．求这个多面体的面数、顶点数和边数．

解：

设这个多面体有𝑎个正五边形的面，𝑏个正六边形的面，𝐸条边，𝑉个顶点．

• 每个正五边形的面周围有5个正六边形的面，但每个正六边形的面在6个正五边形的面周围，被重复计算了6次．因此

  5𝑎=3𝑏
• 每个正五边形的面有5条边，每个正六边形的面有6条边，于是共有5𝑎+6𝑏条边，但每条边被相邻两个面各计算了一次．因此

  5𝑎+6𝑏=2𝐸
• 每个正五边形的面有5个顶点，每个正六边形的面有6个顶点，于是共有5𝑎+6𝑏个顶点，但每个顶点被相邻三个面各计算了一次．因此

  5𝑎+6𝑏=3𝑉
• 由欧拉公式：

  𝑉−𝐸+𝑎+𝑏=2

  解得：

因此有12个正五边形面，20个正六边形面，90条边，60个顶点．

值得一提的是，本题在1997年全国高考的化学试卷最后一题中出现，并且还考察了𝐶_(70)的结构，方法也是类似的．题目如下：最后是一道2020年CMO的图论题：

4．𝑃是一个凸多面体，满足以下两个性质：
(i)𝑃的每一个顶点恰属于3个不同的面；
(ii)对任意𝑘≥3，𝑃中𝑘边形面都恰有偶数个．
有一只蚂蚑从某条棱的中点出发，沿棱爬行，走一条闭合路径𝐿，经过𝐿上每一点恰好一次，最终回到出发点．𝐿将𝑃的表面分为两部分，使得对任意𝑘≥3，两部分中𝑘边形面的个数相等．
求证：蚂蚁在爬行中向左转和向右转的次数相等．

证明：

设𝐿的两侧各有𝑁个面，其中一侧A有𝑎个内部点，另一侧B有𝑏个内部点．再设𝐿上转向A的点有𝑚个（即该点所连的另一条边不在A内），转向B的点有𝑛个．

由两部分𝑘边形面的个数均相等知，每部分顶点和棱的个数均相等，这里的个数是指重复计数的结果．

由条件(i)，每个内部点在该部分被计3次，转向该部分的点只属于该部分的一个面，故被计1次，转向另一个部分的点被计2次．因此由顶点个数相等，有

对两个部分分别使用欧拉公式，这里将𝐿“压平”，使两部分均成为一个新的多面体，此时面数增加1．于是有

公式：(m+n+a)+(N+1)-\dfrac{1}{2}(3a+2m+3n)=2

公式：(m+n+b)+(N+1)-\dfrac{1}{2}(3b+3m+2n)=2

两式相减得：

即