2021年北大夏令营试题（文字版）

试题来源：小猿高中数学竞赛公众号

第一天

1. 𝑎_(1)，𝑎_(2)，𝑎_(3)，𝑎_(4)，𝑘是两两不同的正整数，且不小于80，求

   公式：(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2-4k^2)k^2

   的最小值．

2. 在△𝐴𝐵𝐶中，圆𝐼为其内切圆，且𝐴𝐶>𝐵𝐶>𝐴𝐵，𝐷为𝐴𝐶中点，𝑀为圆𝐼与𝐴𝐶切点，𝐹在𝐴𝑀上，𝐴𝐸⊥𝐵𝐼于点𝐸，𝐷𝐽∥𝐴𝐸且𝐽、𝐸、𝐹三点共线，{𝐾,𝐷}=圆𝐷𝐸𝐹∩𝐷𝐽．证明：圆𝐽𝐹𝐾与圆𝐼相切．

3. 给定正整数𝑛，记𝑎_(𝑖)=2𝑖−1，（1≤𝑖≤𝑛），𝑏_(1)，𝑏_(2)，⋯，𝑏_(𝑛)是2，4，⋯，2𝑛的排列．若对1≤𝑖≠𝑗≤𝑛，均有

公式：\min\{a_i,b_i\}+\min\{a_j,b_j\}\neq \min\{a_j,b_i\}+\min\{a_i,b_j\}

则称(𝑏_(1),𝑏_(2),⋯,𝑏_(𝑛))为“好排列”，求所有的好排列个数．

4. 是否存在𝑓:ℕ_(+)→ℕ_(+)，使得对∀𝑥,𝑦,𝑧∈ℕ_(+)，有

公式：z+f(x)+f(f(y))\mid x^2+[f(f(z))]^2+f(y)^2．

第二天

5. 设𝑚，𝑛为正整数，有𝑚𝑛根长度为1的火柴和一个𝑚×𝑛矩形点阵，矩阵中同行、同列相邻两点的距离也等于1．某同学将𝑚𝑛根火柴互不重叠地放在点阵中，使得所有火柴头恰一一地覆盖了这𝑚𝑛个点，火柴尾在与火柴头相邻的点上．
   称两根火柴是连接的，如果存在一个以这两根火柴为首尾的序列，序列中相邻两根火柴都有公共交点．称若干根火柴是一个图形，如果图形内的火柴两两连接，图形外的任意一根火柴都不与图形内的火柴连接．
   试问：该同学至多能摆出多少个图形？
6. 试求所有正整数𝑚≤2021，使得存在正实数𝑡，满足对任意正整数𝑛，都有

   [𝑡[𝑡𝑛]]≡𝑚(mod2021)

   成立．
7. 设𝑧_(1)，𝑧_(2)，⋯，𝑧_(2021)都是单位根，且𝜔=𝑧_(1)+𝑧_(2)+⋯+𝑧_(2021)的模长等于1．证明：𝜔也是单位根．
8. 给定正整数𝑟≤𝑛−2．设𝐴_(1)，𝐴_(2)，⋯，𝐴_(𝑚)是{1,2,⋯,𝑛}的𝑚个不同的𝑟元自己，满足对任意三个不同的𝐴_(𝑖)，𝐴_(𝑗)，𝐴_(𝑘)，都有|𝐴_(𝑖)∪𝐴_(𝑗)∪𝐴_(𝑘)|≥𝑟+2．证明：

   𝑚≤(𝑛)/(𝑟^(2))𝐶𝑟−1𝑛．