2021年中国女子数学奥林匹克（第一天）

1. 𝑛∈ℕ^(+)，𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛+1)，𝑝，𝑞∈ℝ^(+)，其中𝑝<𝑞，满足𝑥𝑝𝑛+1>∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥𝑝𝑖，求证：
   (1)𝑥𝑞𝑛+1>∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥𝑞𝑖；
   (2)公式：\left(x_{n+1}^p-\sum\limits_{i=1}^nx_i^p\right)^{\frac{1}{p}}< \left(x_{n+1}^q-\sum\limits_{i=1}^nx_i^q\right)^{\frac{1}{q}}．

2. △𝐴𝐵𝐶内接于圆𝑂，𝐼、𝐽分别是△𝐴𝐵𝐶的内心和∠𝐵𝐴𝐶所对的旁心，点𝑋、𝑌在圆𝑂上，满足∠𝐴𝑋𝐼=∠𝐴𝑌𝐽=90^(∘)，线段𝐼𝐽的中垂线交直线𝐵𝐶于点𝐾．求证：𝐴𝐾平分𝑋𝑌．

3. 求最小的𝑛，对𝑛×𝑛的方格表，红黄蓝三染色，满足：(1)每种颜色的方格数目相同；(2)若某行有红格，则该行必有蓝格，且无黄格；(3)若某行有蓝格，则该行必有红格，且无黄格．
   （注：本题似乎有误，(3)中的行应为列，大家可以等待官方版）

4. 称{𝑎_(𝑛)}为CGMO数列，若{𝑎_(𝑛)}_(𝑛≥1)为严格递增的正整数数列．对∀𝑛≥2020，𝑎_(𝑛)满足存在𝐴_(𝑛)⊂{𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛−1)}，且𝑎_(𝑛)∏_(𝑎∈𝐴_(𝑛))𝑎为完全平方数．求证：存在常数𝐶_(1)，𝐶_(2)，对任意CGMO数列，存在𝑁∈ℕ^(+)，当𝑛>𝑁时，有𝐶_(1)𝑛^(2)≤𝑎_(𝑛)≤𝐶_(2)𝑛^(2)．

\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-euclide}
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{0/0/B,5/0/C,4/5/A}
\tkzDefTriangleCenter[circum](A,B,C) \tkzGetPoint{O} %定义三角形ABC外心为O
\tkzInCenter(A,B,C)\tkzGetPoint{I}%定义三角形ABC内心为I
\tkzDefTriangleCenter[ex](B,A,C)\tkzGetPoint{J}%定义三角形ABC中A所对的旁心为J
\tkzDefCircle[diameter](A,I)\tkzGetPoint{A_{1}}%定义AI为直径的圆的圆心为A_{1}
\tkzDefCircle[diameter](A,J)\tkzGetPoint{A_{2}}%定义AJ为直径的圆的圆心为A_{2}
\tkzDefLine[mediator](I,J) \tkzGetPoints{I_{1}}{J_{1}}%定义IJ中垂线且在其上定义两点I_{1}，J_{1}（对称取点）
\tkzInterLL(I_{1},J_{1})(B,C) \tkzGetPoint{K}%定义直线I_{1}J_{1}，BC交点为K
\tkzInterCC(O,A)(A_{1},A)\tkzGetPoints{A}{X}%定义圆O与圆O_{1}交点为A，X
\tkzInterCC(O,A)(A_{2},A)\tkzGetPoints{A}{Y}%定义圆O与圆O_{2}交点为A，Y 
\tkzDrawSegments(A,B A,K A,C K,C A,X A,Y X,Y X,I Y,J)
\tkzDrawSegments[dashed](A,J)
\tkzDrawCircle(O,A)
\tkzDrawPoints(O,I,J)
\tkzLabelPoints[below](B,C,K,J)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzLabelPoints[left](Y)
\tkzLabelPoints[right](X,I,O)
\end{tikzpicture}