2021年中国女子数学奥林匹克试题(两天全)

第一天

1. 设𝑛是正整数，𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛+1)，𝑝，𝑞是正实数，满足𝑝<𝑞，且

   公式：x_{n+1}^p>x_1^p+x_2^p+\cdots+x_n^p．

   (1)证明：𝑥𝑞𝑛+1>𝑥𝑞1+𝑥𝑞2+⋯+𝑥𝑞𝑛；
   (2)证明：公式：\left(x_{n+1}^p-\sum\limits_{i=1}^nx_i^p\right)^{\frac{1}{p}}< \left(x_{n+1}^q-\sum\limits_{i=1}^nx_i^q\right)^{\frac{1}{q}}．

2. 如图所示，在锐角三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵<𝐴𝐶，𝐼是内心，𝐽是顶点𝐴所对的旁心．点𝑋，𝑌分别在三角形𝐴𝐵𝐶外接圆的劣弧𝐴𝐵，𝐴𝐶上，满足∠𝐴𝑋𝐼=∠𝐴𝑌𝐽=90^(∘)．点𝐾在𝐵𝐶的延长线上，满足𝐾𝐼=𝐾𝐽．证明：直线𝐴𝐾平分线段𝑋𝑌．

3. 求最小的正整数𝑛，使得可将𝑛×𝑛的方格表中的每个小方格染为红、黄、蓝三种颜色之一，满足以下三个条件：
   (1)每种颜色的小方格数目相同；
   (2)若某行中有红格，则该行中必有蓝格，且无黄格；
   (3)若某列中有蓝格，则该列中必有红格，且无黄格．

4. 我们称一个正整数数列{𝑎_(𝑛)}_(𝑛≥1)是CGMO数列，如果{𝑎_(𝑛)}_(𝑛≥1)为严格递增的．并且对任意整数𝑛≥2022，𝑎_(𝑛)是在所有大于𝑎_(𝑛−1)的正整数中满足以下条件的最小数：存在𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛−1)的一个非空子集𝐴_(𝑛)，使得𝑎_(𝑛)∏_(𝑎∈𝐴_(𝑛))𝑎为完全平方数． 证明：存在常数𝑐_(1)，𝑐_(2)，使得对任意一个CGMO数列 {𝑎_(𝑛)}_(𝑛≥1)，存在正整数𝑁(依赖于这个数列），满足对任意整数𝑛≥𝑁，有𝑐_(1)⋅𝑛^(2)≤𝑎_(𝑛)≤𝑐_(2)⋅𝑛^(2)．

第二天

5. 证明：从集合{1,2,⋯,20}中任取4个(可以相同的)数后，必可将其中3个数适当地记为𝑎，𝑏，𝑐，使得关于𝑥的同余方程𝑎𝑥≡𝑏(mod𝑐)有整数解．
6. 设𝑆是一个有限集合，𝑃(𝑆)是𝑆的所有子集构成的集合．对任意函数𝑓:𝑃(𝑆)→ℝ，证明：

公式：\sum\limits_{A\in P(S)}\sum\limits_{B\in P(S)}f(A)f(B)2^{|A\cap B|}\geq 0，

这里|𝑋|表示有限集合𝑋的元素个数．

7. 如图所示，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵>𝐴𝐶，𝑂是外心，点𝐵关于𝐴𝐶的对称点为𝐾，点𝐶关于𝐴𝐵的对称点为𝐿．𝑋是△𝐴𝐵𝐶内部一点，满足𝐴𝑋⊥𝐵𝐶，𝑋𝐾=𝑋𝐿．点𝑌，𝑍分别在线段𝐵𝐾，𝐶𝐿上，满足𝑋𝑌⊥𝐶𝐾，𝑋𝑍⊥𝐵𝐿．证明：𝐵，𝐶，𝑌，𝑂，𝑍五点共圆．

8. 设𝑚，𝑛是正整数，定义

公式：g(x)=(x^{n+1}-1)(x^{n+2}-1)\cdots(x^{n+m}-1)．

证明：存在𝑚𝑛次整系数多项式ℎ(𝑥)，满足𝑓(𝑥)ℎ(𝑥)=𝑔(𝑥)，并且ℎ(𝑥)的𝑚𝑛+1个系数均为正整数．