2026年中国女子数学奥林匹克第一天试题解答

解答

取奇质数p_(1)<p_(2)<⋯<p_(2026)，满足p_(i+1)>2p_(i)，令 N_(i)=p2i即可．验证如下：

显然 N_(i)两两互质且都是好数．

任取 p>q为其中两个质数，则 p>2q．若素数

则 r∣p−q或 r∣p+q．前者有

后者因 p+q>2为偶数，

其中最后一个不等式由

得到．故任意两数之差也是好数．

解答

易验证：

各权 k(n−k)>0，故

取等：

证明：

作图

解答

设 ∠ACP的外角平分线交直线 AB于 E．则

故 C,X,E在以 A,P为定点、比值 k的阿氏圆 Γ上；XE为其直径，设圆心为 F．

由∠CEX=90^(∘)−∠AXC=∠BQX知Q∈Γ．故FQ=FX，由阿氏圆的性质：

又

所以

从而∠FAQ=∠CDP，因此

证毕．

解答

把交换过程画成圆柱上的轨迹．设第 i个人的净绕行数为 w_(i)∈Z（规定正方向）．则由每一次操作位移和为0知：

• 若 w_(i)≠0，则第i人至少移动 n|w_(i)|次；
• 若 w_(i)=0，遍历全部顶点再返回，至少移动 2(n−1)次．

此外，任意2人 i,j的轨迹至少相交|w_(i)−w_(j)|次，即2人至少直接交换这么多次．

若 n为偶数，每个人至少移动 n次，故2m≥n^(2)即m≥(n^(2))/(2)．

若n为奇数，记n=2k+1．记w_(1),⋯,w_(n)中共有t个0，令

于是m≥nS+t(n−1)，且S≥⌈(n−t)/(2)⌉．

（1）t≥2时，分t的奇偶讨论可得：m≥2k(k+2)．

（2）t=1时，S≥k．若S>k，则

若S=k，其余2k个w_(i)恰为k个1和k个−1．正负两类之间至少有2k^(2)次交换；又零绕行者至少参加 2(n−1)=4k次交换，故

（3）t=0时，S≥k+1．若S>k+1，则

若S=k+1时，只能是k+1个1，k−1个−1，1个−2（或全体变号）．于是

故总有m≥2k(k+2)=((n−1)(n+3))/(2)．

构造

若w_(i)∈Z满足 ∑_(i=1)^(n)w_(i)=0，在圆柱上取 n条一般位置的单调轨迹，使第 i条净绕行 w_(i)圈．按交点由下至上依次执行交换操作．任意2条轨迹恰相交 |w_(i)−w_(j)|次，故总交换数为∑_(1≤i<j≤n)|w_(i)−w_(j)|．

n偶时，取w_(i)为(n)/(2)个1，(n)/(2)个−1；

n奇时，取w_(i)为(n+1)/(2)个1，(n−3)/(2)个−1，1个−2．

综上