Mason-Stothers定理解一道中科大强基试题

2021年中国科技大学的最后一题如下：

题目 𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)，ℎ(𝑥)为实系数多项式，且两两互素．若

公式：(f(x))^n+(g(x))^n=(h(x))^n，

求证：𝑛=1或2．

这可以看成是费马大定理在多项式中的情况．

我们可以用Mason-Stothers定理来解决这道题．(摘自《高等代数》郭学军)

对任意的多项式𝐹，我们用𝑛_(0)(𝐹)表示𝐹的互不相同的根的个数，即如果有重根的话，则不考虑其重数，都只记一次．

Mason-Stothers定理 假设𝑓，𝑔，ℎ是3个互素的多项式，而且𝑓+𝑔=ℎ．那么

公式：\max{\left(\deg(f),\deg(g),\deg(h)\right)}\leq n_0(fgh)-1

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证明 令𝐹=(𝑓)/(ℎ)，𝐺=(𝑔)/(ℎ)，则𝐹+𝐺=1．两边求导可得𝐹^(′)+𝐺^(′)=0．所以

(𝐹^(′))/(𝐹)𝐹+(𝐺^(′))/(𝐺)𝐺=0,

即

(𝑔)/(ℎ)=(𝐺)/(𝐹)=−(𝐹^(′)/𝐹)/(𝐺^(′)/𝐺)．

假设

𝑓(𝑥)=𝑐_(1)∏(𝑥−𝛼_(𝑖))^(𝑎_(𝑖)),

𝑔(𝑥)=𝑐_(2)∏(𝑥−𝛽_(𝑗))^(𝑏_(𝑗)),

ℎ(𝑥)=𝑐_(3)∏(𝑥−𝛾_(𝑘))^(𝑐_(𝑘)),

则

公式：\dfrac{g}{f}=-\dfrac{F'/F}{G'/G}=-\dfrac{\sum\dfrac{a_i}{x-\alpha_i}-\prod\dfrac{c_k}{x-\gamma_k}}{\sum\dfrac{b_j}{x-\beta_j}-\prod\dfrac{c_k}{x-\gamma_k}}．

记

公式：p(x)=\prod(x-\alpha_i)\prod(x-\beta_j)\prod(x-\gamma_k),

则𝑛_(0)(𝑓𝑔ℎ)=𝑛_(0)(𝑝)，且𝐹_(1)=𝑝(𝐹^(′))/(𝐹)和𝐺_(1)=𝑝(𝐺^(′))/(𝐺)均为多项式．

又因为(𝑔)/(𝑓)=−(𝐹_(1))/(𝐺_(1))，所以𝑓，𝑔的次数均不大于𝑛_(0)(𝑝)−1．所以

公式：\max{\left(\deg(f),\deg(g),\deg(h)\right)}\leq n_0(fgh)-1．

回到原题，对𝑓^(𝑛)，𝑔^(𝑛)，ℎ^(𝑛)使用Mason-Stothers定理，注意到

公式：n_0(f^ng^nh^n)=n_0(fgh)\leq \deg f+\deg g+\deg h

有

公式：\begin{align*} &\deg f+\deg g+\deg h-1\\ \geq& \max(n\deg f,n\deg g,n\deg h)\\ \geq&\dfrac{1}{3}\left(n\deg f+n\deg g+n\deg h\right) \end{align*}

即

公式：\left(1-\dfrac{n}{3}\right)\left(\deg f+\deg g+\deg h\right)\geq 1

由此得到𝑛<3．

𝑛=1时是平凡的；
𝑛=2时，注意到

(𝑥^(2)−1)^(2)+(2𝑥)^(2)=(𝑥^(2)+1)^(2)．

证毕．

注：更一般地，方程𝑓^(𝑎)+𝑔^(𝑏)=ℎ^(𝑐)有两两互素地多项式解，但且仅当(𝑎,𝑏,𝑐)满足下面某个形式：

(1,𝑚,𝑛),𝑚,𝑛≥1;

(2,2,𝑛),𝑛≥2;

(2,3,3);

(2,3,4);

(2,3,5).