几道2021HMMT春季赛团体赛题目的解答

解答 （1）由题意知

公式：\begin{aligned} &\left(\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right)^2\\ =&\sqrt{a}+\sqrt{b}+2\sqrt{a-b}+\sqrt{a}-\sqrt{b}\\ =&2\sqrt{a}+2\sqrt{a-b}\\ \end{aligned}

为整数，设为𝑛．

于是

即

也即

于是√(𝑎)为有理数，故为整数．

（2）答案是否定的．例如

公式：\begin{aligned} &\sqrt{\sqrt{36}+\sqrt{32}}+\sqrt{\sqrt{36}-\sqrt{32}}\\ =&2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}\\ =&4 \end{aligned}

而√(32)不为整数．

分析 这题的构造的关键是对每个数取一个不同的素因子，用Fermat小定理进行处理．

解答 令

对于任意−𝑚≤𝑖≤𝑚，设𝑞_(𝑖)为2^(𝑚+1)+𝑖的一个素因子．

由欧拉函数的积性有

设

公式：\prod\limits_{i=-m}^m\varphi\left(2^{m+1}+i\right)=k_i\cdot (q_i-1)

于是

公式：\begin{aligned} 2^n+i&=2^{m+1}\cdot \left(2^{q_i-1}\right)^{k_i}+i\\ &\equiv 2^{m+1}+i\\ &\equiv 0({\rm{mod}}\ q_i) \end{aligned}

又2^(𝑛)+𝑖>2^(𝑚+1)+𝑖≥𝑞_(𝑖)，故2^(𝑛)+𝑖为合数．从而构造了连续2𝑚+1个合数．

分析 考虑这个式子的组合意义．

解答 考虑一个𝑘行𝑛列的正方形网格，在其中取出𝑘个小正方形．

设第𝑖行中被取出了𝑎_(𝑖)个小正方形，第𝑗列中被取出了𝑏_(𝑗)个小正方形．于是有

公式：\begin{aligned} k&=a_1+a_2+\cdots+a_k\\ &=b_1+b_2+\cdots+b_n \end{aligned}

令取出的𝑘个小正方形满足：除最后一行外，其余所有被选出的小正方形下方的小正方形均也被选出．于是

这样

公式：\sum\limits_{(a_1,\cdots,a_k)\in S}C_n^{a_1}\cdot C_{a_1}^{a_2}\cdot C_{a_2}^{a_3}\cdots C_{a_{k-1}}^{a_k}

即为该组合问题的方法总数．

接下来按列选出这𝑘个小正方形，注意到每一列的小正方形个数确定后，其位置也随之确定（从底部向上的连续若干个小正方形）．于是方法数为

分析 用算两次得到这个多面体面数和棱数的关系，再由每个顶点处的内角和小于360^(∘)得到面数与顶点数的关系．代入欧拉定理𝑉+𝐹=𝐸+2即可．

解答 设这个多面体有𝑉个顶点，𝐹个面，𝐸条棱．由欧拉定理：

注意到每个面有3条棱，而每条棱被计算2次，因此有

注意到这是一个凸多面体，每个顶点处的内角之和必小于360^(∘)．而每个内角的可能度数均为36^(∘)的整数倍，故每个顶点处的内角之和不超过324^(∘)．因此180𝐹≤324𝑉，即

于是

公式：5F\leq 9(E+2-F)=\dfrac{27}{2}F+18-9F

故这个多面体面数的最大值为36．

分析 𝑛的因数不会太多，所以先从素数开始考虑，再注意到𝑥^(2)+𝑥+1模3的性质，以及如下因式分解

公式：x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)

即可得到答案．

解答 满足题意的𝑛为1，所有模3余1的素数，以及除3以外的所有素数的平方．

首先证明𝑛的因数个数不超过3，否则存在两个因数𝑎和𝑏，使得1<𝑏<𝑎<𝑛，且𝑛=𝑎𝑏．

由𝑓(𝑎)|𝑓(𝑛)知𝑓(𝑎)|𝑓(𝑛)−𝑓(𝑎)．

注意到

公式：\begin{aligned} &f(n)-f(a)\\ =&(n^2+n+1)-(a^2+a+1)\\ =&(n-a)(n+a+1)\\ =&(n-a)(a^2+a+1)+(n-a)(n-a^2)\\ =&(n-a)(a^2+a+1)+(ab-a)(ab-a^2)\\ =&(n-a)(a^2+a+1)+a^2(b-a)(b-a) \end{aligned}

于是有

而

故

这是不可能的，于是𝑛的因数个数不超过3．因此𝑛只能为1，素数，素数的平方．

考虑𝑓(1)|𝑓(𝑛)即3|𝑛^(2)+𝑛+1．有𝑛模3余1．

经验证，满足题意的𝑛为1，所有模3余1的素数，以及除3以外的所有素数的平方．