2022年印度尼西亚区域赛决赛

西部地区

1. 不等边的锐角△𝐴𝐵𝐶的外接圆为Γ，过𝐴作𝐴𝐴^(′)∥𝐵𝐶交Γ于点𝐴^(′)，同理定义点𝐵^(′)，𝐶^(′)．求证：

   min(𝐴^(′)𝐵^(′),𝐵^(′)𝐶^(′),𝐶^(′)𝐴^(′))<max(𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐴).

2. Kazuma在黑板上写下三个互异的正整数．每一回合，Megumin选择其中两个数：𝑚和𝑛，将它们擦去，并写上𝑛−gcd(𝑛,𝑚)和lcm(𝑚,𝑛)−𝑛．若Megumin在某一时刻写下0，则Megumin失败．求证：不论开始时Kazuma写下何整数，Megumin都能保证自己不会失败．

3. 非零实数𝑎，𝑏，𝑐满足

   |(𝑎+𝑏)(𝑏+𝑐)(𝑐+𝑎)|=|(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐)(𝑐−𝑎)|,

   求

   ∣(𝑎)/(𝑏)+(𝑏)/(𝑐)+(𝑐)/(𝑎)∣

   的最小值．

4. △𝐴𝐵𝐶的外接圆为Γ，外心为𝑂．𝐴^(′)为Γ上不过点𝐴的弧𝐵𝐶的中点，同理定义点𝐵^(′)，𝐶^(′)．已知𝐵^(′)𝐶^(′)和△𝐴𝐵𝐶的内切圆相切于点𝑋，𝐵𝐶和△𝐴𝐵𝐶的内切圆相切于点𝐷，且直线𝑂𝑋和直线𝐷𝐴^(′)平行（或共线）．求证：△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．

5. 求所有函数𝑓：ℕ→ℕ，使得对任意𝑚,𝑛∈ℕ，𝑚∣𝑓(𝑛)当且仅当𝑓(𝑚)∣𝑛．

东部地区

1. Kiritio从集合{1,2,⋯,100}中给Asna个不同的正整数，使得对任意正整数1≤𝑗≤100，Asna都能在Kiritio给她的𝑘个数中取出若干个，使它们的和为𝑗．求𝑘的最小值．

2. 给定正整数𝑘．定义整数列{𝑎_(𝑖)}如下：

• 𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑘)∈ℤ．
• 对任意𝑛≥𝑘+1，𝑎_(𝑛)=(𝑎_(𝑛−1)+⋯+𝑎_(𝑛−𝑚))/(𝑚)，其中𝑚为小于𝑛且使得(𝑎_(𝑛−1)+⋯+𝑎_(𝑛−𝑚))/(𝑚)∈ℤ的最大正整数．
  求证：存在正整数𝑁，使得对任意𝑖>𝑁，𝑎_(𝑖)=𝐶为常数．

3. 对锐角△𝐴𝐵𝐶，设ℓ_(𝐴)，ℎ_(𝐴)，𝑚_(𝐴)分别为点𝐴所对的角平分线，高，中线．同理定义ℓ_(𝐵)，ℎ_(𝐵)，𝑚_(𝐵)，ℓ_(𝐶)，ℎ_(𝐶)，𝑚_(𝐶)．已知(ℓ_(𝐴),ℎ_(𝐵),𝑚_(𝐶))，(ℓ_(𝐵),ℎ_(𝐶),𝑚_(𝐴))，(ℓ_(𝐶),ℎ_(𝐴),𝑚_(𝐵))分别共点，求证：△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．

4. 判断是否存在无穷正整数列{𝑎_(𝑖)}_(𝑖≥1)和{𝑏_(𝑖)}_(𝑖≥1)，使得对任意不同的正整数𝑚和𝑛，𝑎_(𝑚)，𝑎_(𝑛)，𝑏_(𝑚)，𝑏_(𝑛)两两互异，且对任意𝑖∈ℕ，

   𝜑(𝑎2𝑖+1)⋅𝜑(𝑎2𝑖+1+1)=𝜑(𝑏2𝑖+1).

5. 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎+𝑏+𝑐=(1)/(𝑎)+(1)/(𝑏)+(1)/(𝑐)，且𝑎𝑏𝑐=1．求证：