赛题翻译
2022年巴尔干初中数学奥林匹克
公众号原标题：2022年巴尔干初中数学奥林匹克——中文翻译（显示标题做过精简）
正文文字 139 字公式 38 处
求所有正整数对(𝑎,𝑏)，使得
11𝑎𝑏≤𝑎^(3)−𝑏^(3)≤12𝑎𝑏. 设锐角△𝐴𝐵𝐶的垂心为点𝐻，𝐴在𝐵𝐶边上的垂足为点𝐷，且满足𝐴𝐻=𝐻𝐷．设△𝐵𝐻𝐶的外接圆在点𝐻处的切线为ℓ，ℓ和边𝐴𝐵、𝐴𝐶分别交于点𝑆、𝑇．设𝐵𝐻和𝐶𝐻的中点分别为𝑀和𝑁．求证：𝑆𝑀和𝑇𝑁平行．
求所有四元正整数组(𝑝,𝑞,𝑎,𝑏)，其中𝑝和𝑞为素数，𝑎>1，满足
𝑝^(𝑎)=1+5𝑞^(𝑏). 对正偶数𝑛，如果集合{1,2,⋯,𝑛}能被划分为(𝑛)/(2)个二元子集，且每个子集的元素和均为3的幂，则称𝑛是“好数”．例如：6是“好数”，因为集合{1,2,3,4,5,6}能被划分为{1,2}，{3,6}，{4,5}．求小于3^(2022)的所有好数的个数．
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