2022年澳大利亚数学奥林匹克

第一天

1. 若一个凸五边形的边长均为整数，且周长为奇数．求证：该凸五边形可以有两个直角，但不能有超过两个直角．

2. 设点𝑃在凸六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹内部，使𝑃𝐴𝐵𝐶，𝑃𝐶𝐷𝐸，𝑃𝐸𝐹𝐴为面积相等的平行四边形．求证：𝑃𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐷𝐸𝐹，𝑃𝐹𝐴𝐵也为面积相等的平行四边形．

3. 求所有实系数多项式𝑝(𝑥)，使得：
   (1)对任意正实数𝑥，都有𝑝(𝑥)>0；
   (2)对任意满足𝑥𝑦𝑧=1的正实数𝑥，𝑦，𝑧，都有(1)/(𝑝(𝑥))+(1)/(𝑝(𝑦))+(1)/(𝑝(𝑧))=1．

4. 设平面点集公式：S=\{(i,j)\mid i,j\in\{1,2,\cdots,2022\},i< j\}．将𝑆中的点染成红、蓝二色之一，满足若点(𝑖,𝑗)和点(𝑗,𝑘)同色，则点(𝑖,𝑘)也和它们同色．
   问：有多少种对𝑆的染色方式？

第二天

5. 数列𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(2022)满足𝑥_(1)+𝑥_(2)+⋯+𝑥_(2022)>0．若存在正整数𝑘<2022，使得：
   (1)数列的前𝑘项均不超过0；
   (2)数列的剩余项均不小于0．
   求证：公式：x_1+2x_2+3x_3+\cdots+2022x_{2022}> 0．

6. 在Biplania国家中有两家航空公司，分别为Redwing和Blueways，该国家有20个城市，其中两个为Abadu和Ethora．在任意两个城市之间，两家航空公司中恰好有一家有直达航班，并且该航空公司在两个城市之间双向飞行．
   Arthur只坐Redwing的飞机，他从Abadu飞到Ethora需要乘坐四趟航班．
   Martha只Blueways的飞机．
   求证：Martha在该国家内从任意一个城市到另一个城市至多只需乘坐两趟航班．

7. 对任意正整数𝑛，记𝑓(𝑛)为𝑛和与𝑛最近的2的幂之差．称𝑛的停止次数为𝑘，如果𝑘为使得𝑓(𝑓(⋯𝑓(𝑛)⋯))=0（将𝑓迭代𝑘次）的最小正整数．例如：𝑓(54)=10，𝑓(10)=2，𝑓(2)=0，则54的停止次数为3．
   (1)求停止次数为2022的最小正整数．
   (2)最多有多少个连续的正整数，具有相同的停止次数？

8. 锐角三角形𝐴𝐵𝐶的垂心为𝐻．过点𝐵和点𝐶的高分别和∠𝐵𝐴𝐶的角平分线交于点𝐷和点𝐸．△𝐷𝐸𝐻的外接圆在点𝐷和点𝐸处的切线交于点𝑋．求证：𝐵𝑋=𝐶𝑋．