2021年普林斯顿数学竞赛代数组

A组

1. 求所有满足以下方程的实数𝑥之和：

   (8^(𝑥)−19⋅4^(𝑥))/(16−25⋅2^(𝑥))=2.

2. 对双射函数𝑔：ℝ→ℝ，如果函数𝑓：ℝ→ℝ满足等式：(𝑓∘𝑔)(𝑥)=𝑔^(−1)(𝑥)，其中𝑔^(−1)为𝑔的反函数，则称𝑓是“超级可逆的”．已知𝑔(𝑥)=𝑥^(3)+9𝑥^(2)+27𝑥+81，且𝑓是“超级可逆的”，求|𝑓(−289)|．

3. 设𝑓(𝑥)=1+2𝑥+3𝑥^(2)+4𝑥^(3)+5𝑥^(4)，公式：\zeta=e^{2\pi i/5}=\cos\dfrac{2\pi}{5}+i\sin\dfrac{2\pi}{5}．求下式的值：

   𝑓(𝜁)𝑓(𝜁^(2))𝑓(𝜁^(3))𝑓(𝜁^(4)).

4. 一元三次多项式𝑝的三个正根成等比数列，且和为10．设|𝑝(−1)|的最大值能写成(𝑚)/(𝑛)的形式，其中𝑚，𝑛为互质的正整数．求𝑚+𝑛．

5. 考虑和式

公式：S=\sum\limits_{j=1}^{2021}|\sin\dfrac{2\pi j}{2021}|.

设𝑆的值能写成tan(𝑐𝜋)/(𝑑)的形式，其中𝑐，𝑑为互质的正整数，且2𝑐<𝑑．求𝑐+𝑑．

6. 𝑓为多项式，若存在多项式ℎ(𝑥)满足𝑓(𝑥)−𝑓(𝑝)=ℎ(𝑥)(𝑥−𝑝)^(2)对任意𝑥∈ℝ恒成立，则称复数𝑝是𝑓的一个“二次吸引子”．考虑多项式

   公式：f(x)=12x^5-15x^4-40x^3+540x^2-2160x+1,

   其所有“二次吸引子”为𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)．设∑_(𝑖=1)^(𝑛)|𝑎_(𝑖)|能写成√(𝑎)+√(𝑏)的形式，其中𝑎，𝑏为正整数．求𝑎+𝑏．

7. 考虑以下表达式：

公式：S=\log_2\left(\left|\sum\limits_{k=1}^{2019}\sum\limits_{j=2}^{2020}\log_{2^{1/k}}(j)\log_{j^2}(\sin\dfrac{\pi k}{2020})\right|\right).

求不小于𝑆的最小整数𝑛．（即求⌈𝑆⌉）

8. 斐波那契数列𝐹_(0)，𝐹_(1)，𝐹_(2)，⋯定义如下：𝐹_(0)=𝐹_(1)=1，对任意𝑛≥1，𝐹_(𝑛+1)=𝐹_(𝑛)+𝐹_(𝑛−1)．数列𝑥_(0)，𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯定义如下：𝑥_(0)=1，对任意𝑘≥0，𝑥_(𝑘+1)=𝑥2𝑘+𝐹2𝑘．数列𝑦_(0)，𝑦_(1)，𝑦_(2)，⋯定义如下：𝑦_(0)=1，对任意𝑘≥0，𝑦_(𝑘+1)=2𝑥_(𝑘)𝑦_(𝑘)−𝑦2𝑘．设

   ∑_(𝑘=0)^(∞)(1)/(𝑦_(𝑘))=(𝑎−√(𝑏))/(𝑐),

   其中𝑎，𝑏，𝑐均为正整数，且\gcd(a,c)=1．求a+b+c$．

B组

1. 相异正实数𝑥，𝑦满足

   公式：\dfrac{1}{\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}}=\dfrac{x}{\sqrt{y^3}}.

   设(𝑥)/(𝑦)=(𝑎+√(𝑏))/(𝑐)，其中其中𝑎，𝑏，𝑐均为正整数，且gcd(𝑎,𝑐)=1．求𝑎+𝑏+𝑐．

2. Kris被要求计算log_(10)(𝑥^(𝑦))，其中𝑦为正整数，𝑥为正实数．然而，他误读为了(log_(10))^(𝑦)并进行了计算，却仍然得到了正确的结果．已知𝑥>10^(1.5)，求𝑦的最大可能值．

3. 同A组第1题

4. 同A组第2题

5. 同A组第3题

6. 同A组第4题

7. 同A组第5题

8. 同A组第6题