2021年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）数论组

A组

1. 求2^(3^(5))+3^(5^(2))+5^(2^(3))除以30的余数．

2. 数字𝑛的子串为从𝑛的开头和结尾删去一些数字所形成的新数字（可以在两侧删去不同数量的数字）．求所有满足如下性质的素数𝑝之和：𝑝的所有子串仍为素数．

3. 求不定方程𝑥^(2)+𝑦^(2)=32045的非负整数解．

4. 设公式：f(n)=\sum\limits_{\gcd(k,n)=1,1\leq k\leq n}k^3，设𝑓(2020)的质因数分解形式为𝑝𝑒_(1)1𝑝𝑒_(2)2⋯𝑝𝑒_(𝑘)𝑘，求∑_(𝑖=1)^(𝑘)𝑝_(𝑖)𝑒_(𝑖)的值．

5. 设函数𝑓：ℤ×ℤ→ℝ满足对任意整数𝑥，𝑦，都有公式：f(x,y)=f(3x+y,2x+2y)．求1≤𝑥,𝑦≤100时，𝑓(𝑥,𝑦)所能取得的不同值个数的最大值．

6. 设𝑓(𝑛)=∑_(𝑖=1)^(𝑛)(gcd(𝑖,𝑛))/(𝑛)，求所有使得𝑓(𝑛)=6的正整数𝑛之和．

7. 若多项式𝑝满足对任意整数𝑥和𝑦，𝑦−𝑥∣𝑝(𝑦)−𝑝(𝑥)，且对任意整数𝑥，𝑝(𝑥)均为整数，则称𝑝是“尊敬的”．若一个“尊敬的”非零多项式的所有非零系数都在(0,1)之间，则称其是“伪装的”．求∑deg(𝑓)⋅𝑓(2)，其中𝑓取遍所有次数不超过5的伪装的多项式．

8. 数列{𝑎_(𝑛)}满足：𝑎_(0)=3，对任意𝑖≥1，𝑎_(𝑖)=2^(𝑎_(𝑖)−1)+1．设𝑚为满足𝑎33∣𝑎_(𝑚)的最小整数，𝑚^(′)为满足𝑎3𝑚∣𝑎_(𝑚^(′))的最小整数．求𝑚^(′)的值．

B组

1. Andrew有一个四位数，且最后一位为2．已知这个数能被9整除，求这个四位数的所有可能取值的个数．注意到首位数字不能为0．

2. 正整数𝑛的最小三个正约数分别为𝑑_(1)<𝑑_(2)<𝑑_(3)，且满足𝑑_(1)+𝑑_(2)+𝑑_(3)=57．求𝑑_(2)的所有可能取值之和．

3. 同A组第1题

4. 同A组第2题

5. 同A组第3题

6. 同A组第4题

7. 同A组第5题

8. 同A组第6题