2021年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）个人赛决赛

A组

1. 求证：对任意正整数𝑛，𝑛^(2)−𝑛+1没有6𝑘+5（𝑘∈ℤ_(+)）形式的质因子．
2. 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于圆Γ，𝐸为对角线𝐵𝐷的中点．𝐼_(1)，𝐼_(2)，𝐼_(3)，𝐼_(4)分别为△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐷𝐸，△𝐵𝐶𝐸，△𝐶𝐷𝐸的内切圆圆心．求证：△𝐴𝐼_(1)𝐼_(2)和△𝐶𝐼_(3)𝐼_(4)的外接圆与Γ的两个交点构成一组对径点．
   注：对圆𝐶上的两点𝑋和𝑌，称𝑋和𝑌为一组对径点，即𝑋𝑌为𝐶的一条直径．
3. Alice和Bob进行一个游戏，从一个长度为2022的二进制字符串𝑏开始．在每一回合中，字符串最右边的数字被删除．如果被删除的数字是1，Alice在最左边加上一个她想要的数字；否则，Bob在最左边加上一个他想要的数字．
   Alice需要在最短的回合内将字符串𝑏变为全是0，即00⋯0_()_(2022个0)；而Bob需要让该回合数变得尽可能大，或者完全阻止Alice达成目标．
   (a)如果两人都完成得足够好，是否存在字符串𝑏，使得Bob可以完全阻止Alice达成目标．
   (b)如果(a)的答案是肯定的，求出所有这样的字符串𝑏；如果(a)的答案是否定的，求出Alice达成目标的最大回合数，并求出达到最大回合数时的字符串𝑏．

B组

1. 𝑎，𝑏，𝑐为区间[0,1]中的实数，且满足𝑎𝑏+𝑐≤1．求𝑎+𝑏+𝑐的最大值．
2. 设𝑝为奇质数．求证：对任意整数𝑘，存在整数𝑎和𝑏，使得𝑝∣𝑎^(2)+𝑏^(2)−𝑘．
3. 在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐶_(0)为点𝐶到𝐴𝐵的垂足，点𝐵_(0)为点𝐵到𝐴𝐶的垂足．设Γ为△𝐴𝐵𝐶的外接圆，𝐸为Γ上一点，且满足𝐴𝐸⊥𝐵𝐶．设𝑀为𝐵𝐶的中点，𝐺为𝐸𝑀和Γ的第二个交点．𝑇为Γ上一点，且满足𝑇𝐺平行于𝐵𝐶．求证：𝑇，𝐴，𝐵_(0)，𝐶_(0)四点共圆．