2021年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）团体赛

团体赛

1. 一个邪恶的女巫在制作毒药．为了使药水起作用，毒箭蛙的数量不能超过5，狼牙的数量必须是偶数，龙鳞的数量必须是6的倍数，她也可以放入任意数量的虎钉．已知此毒药共有2021份材料，女巫有多少种方式添加材料，使得毒药起效？

2. 𝑘为满足如下条件的最小正整数：对任意1≤𝑥≤𝑦≤𝑧≤12，公式：k\dfrac{\gcd(x,y)\gcd(y,z)}{\mathrm{lcm}(x,y^2,z)}均为正整数．设𝑘^(′)为𝑘的约数个数，求𝑘^(′)的约数个数．

3. 设𝑓(𝑁)=𝑁((9)/(10))^(𝑁)，记𝑁跑遍所有正整数时，𝑓(𝑁)的最大值为(𝑚)/(𝑛)．如果𝑚和𝑛为互质的正整数，求𝑚+𝑛除以1000的余数．

4. Abby和Ben的弟弟Carl想要糖果．Abby有7个不同的糖果，Ben有15个不同的糖果．他们打算给Carl一些糖果．由于Ben想成为比Abby更好的哥哥，他打算比Abby多给Carl2块糖果．设Abby和Ben给Carl糖果的不同方式共有𝑁种，求𝑁的正约数个数．

5. 给定实数𝑡，满足0<𝑡<1，定义实值函数𝑓(𝑡,𝜃)=∑_(𝑛=−∞)^(+∞)𝑡^(|𝑛|)𝜔^(𝑛)，其中𝜔=𝑒^(𝑖𝜃)=cos𝜃+𝑖sin𝜃．对𝜃∈[0,2𝜋)，极坐标方程𝑟(𝜃)=𝑓(𝑡,𝜃)表示一个左焦点位于原点的椭圆𝐸_(𝑡)．设椭圆𝐸_(𝑡)的面积为𝐴(𝑡)．已知𝐴((1)/(2))=(𝑎𝜋)/(𝑏)，其中𝑎和𝑏为互质的正整数．求100𝑎+𝑏．

6. Jack在玩一个游戏，首先，他掷一枚六面等概率的骰子，得到一个数字𝑛．然后，他开始掷硬币，如果掷出连续𝑛次正面，则取得胜利；如果掷出连续𝑛次反面，则他再掷一次骰子，并重新进行游戏．Jack在取得胜利前掷硬币的次数的期望是多少？

7. 多项式公式：f(x)=x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x+1的所有根均为单位根．称实数𝑟∈[0,1)是“好的”，如果𝑒^(2𝑖𝜋𝑟)=cos2𝜋𝑟+𝑖sin2𝜋𝑟为多项式𝑓的一个根，且𝑒^(2𝑖𝜋𝑟)的虚部为正．设𝑆为所有“好的”实数𝑟之和，𝑆=(𝑝)/(𝑞)，其中𝑝和𝑞为互质的正整数，求𝑝+𝑞．

8. 新一届的PUMaC比赛将邀请2020个学生，编号为1，2，⋯，2020．开始时，学生们被分为20组，每组101人，学生被分到每一组的概率相同．在每一组中，编号最小的学生获胜，获胜者进入第二轮．在进入第二轮的20名学生中，随机从中选出一个冠军．设冠军编号的期望为(𝑎)/(𝑏)，其中𝑎和𝑏为互质的正整数，求𝑎+𝑏．

9. 设𝐴𝑋为半径为10的圆Ω的一条直径．点𝐶在Ω上，且𝐴𝐶=16．点𝐷为Ω上另一点，满足𝐶𝑋=𝐶𝐷．设点𝐷^(′)为点𝐷关于𝐴𝐶中点的对称点，点𝑋^(′)为点𝑋关于𝐶𝐷中点的对称点．若△𝐶𝐷^(′)𝑋^(′)的面积为(𝑝)/(𝑞)，其中𝑝和𝑞为互质的正整数，求𝑝+𝑞．

10. 求使得(𝑎^(3)+𝑏^(3))/(𝑎^(2)+𝑏^(2))为整数，且满足1≤𝑎≤𝑏≤100的正整数组(𝑎,𝑏)的组数．

11. △𝐴𝐵𝐶满足𝐴𝐵=10，𝐵𝐶=14，𝐴𝐶=16．设△𝐷𝐸𝐹为满足以下条件的面积最小的三角形：𝐷𝐸平行于𝐴𝐵，𝐸𝐹平行于𝐵𝐶，𝐷𝐹平行于𝐴𝐶，且△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹的外接圆内切．直线𝐷𝐴和△𝐴𝐵𝐶的外接圆再次交于点𝑋．求𝐴𝑋^(2)．

12. 给定整数𝑎_(0)，定义实数列𝑎_(0)，𝑎_(1)，⋯，满足对任意𝑖≥1，都有𝑎2𝑖=1+𝑖𝑎2𝑖−1．若对某个𝑎_(0)，𝑎_(𝑗)能为整数，则称下标𝑗是好的．求区间[0,99]中所有不好的下标𝑗之和．

13. 给定正整数𝑛及其质因数分解式𝑝𝑒_(1)1𝑝𝑒_(2)2⋯𝑝𝑒_(𝑘)𝑘，定义𝑓(𝑛)=∑_(𝑖=1)^(𝑘)𝑝_(𝑖)𝑒_(𝑖)．设𝑀为满足𝑓(𝑀)=2023的最大奇数，𝑚为满足𝑓(𝑚)=2023的最小奇数．设(𝑀)/(𝑚)=𝑝𝑒_(1)1𝑝𝑒_(2)2⋯𝑝𝑒_(𝑙)𝑙，其中𝑒_(𝑖)为非零整数，𝑝_(𝑖)为质数．求|∑_(𝑖=1)^(𝑙)(𝑝_(𝑖)+𝑒_(𝑖))|．

14. Heron将要观看一部共有𝑛集的节目，该节目每天发布一集．Heron想在首播那天观看第一集和最后一集，他不想连续两天不看该节目，且可以在一天内观看任意多集．用𝑓(𝑛)表示Heron观看该节目的总方法数，设𝑁为满足𝑓(𝑛)≡2(mod3)的第2021小的𝑛．求𝑁的值．

15. 锐角△𝐴𝐵𝐶满足∠𝐵𝐴𝐶=70^(∘)，∠𝐴𝐵𝐶=60^(∘)．设𝐷，𝐸分别为𝐵，𝐶在对边的垂足，𝐻为△𝐴𝐵𝐶的垂心．设𝐹为△𝐴𝐵𝐶外接圆上劣弧𝐴𝐵上的一点，且满足∠𝐹𝐴𝐵=10^(∘)，𝐺为𝐻到𝐴𝐹的垂足．若𝐼=𝐵𝐹∩𝐸𝐺，𝐽=𝐶𝐹∩𝐷𝐺，求∠𝐺𝐼𝐽的度数．