我的数论启蒙题

小学时候，我总爱摆弄各种数字。有一天，偶然发现6^(5)+1=7777这一神奇结论，不禁想到，还有没有与之类似的式子？很快想到了2^(5)+1=33这个更为简单的式子，但是否还有呢？

这个问题困扰了我接近三年，闲暇时候就会开始思考，期间转过学，遇到过四个不同的数学老师，每次都会去问这道题，但始终没有得到解答。大约六年级时，有了足够的数论基础，我才攻克这一难题底数为偶数的版本（奇数应该还是open的）。也是在这过程之中，我对数论产生了深厚的兴趣。

今天在翻译2022年法语数学奥林匹克试题时，突然发现最后一题正是当年所想的问题（这里限制了𝑎为偶数）．题目如下：

求所有的整数𝑎≥2，𝑏≥2，使得𝑎是偶数，且𝑎^(𝑏)+1的所有数码均相等．

具体证明过程已经记不太清了，看了看AoPS上的解答，大体上是一致的，于是决定贴上来，对自己数竞生涯的开端做个记录。

首先，设𝑎^(𝑏)+1=𝑚𝑚…𝑚_()_(𝑘个𝑚)^(¯)，其中𝑚和𝑘均为正整数，且𝑚≤9．

分两种情况进行讨论：

(1)𝑘=1，易知只有(𝑎,𝑏)=(2,2)或(2,3)．

(2)𝑘≥2，考虑模4，注意到4∣𝑎^(𝑏)，于是

公式：\begin{align*} &a^b+1\equiv 1\pmod{4}\\ \iff&\overline{\underbrace{mm \dots m}_{k \text{ 个 } m}}\equiv 1\pmod{4}\\ \iff&\overline{mm}\equiv 1\pmod{4}\\ \iff&11m\equiv 1\pmod{4}\\ \iff&m\equiv 3\pmod{4} \end{align*}

于是𝑚=3或7．

𝑚=3时，若𝑘≥3，考虑模8，有

公式：\begin{align*} &\overline{\underbrace{33 \dots 3}_{k \text{个} 3}} \equiv 333 \equiv 5\pmod{8}\\ \iff &a^{b}+1 \equiv 5 \pmod{8}\\ \iff& a^{b} \equiv 4 \pmod{8} \end{align*}

若𝑏≥3，有8∣𝑎^(𝑏)，矛盾，故𝑏=2．然而

公式：a^2+1\equiv\overline{\underbrace{33\dots 3}_{k \text{个} 3}}\equiv 0\pmod{3}

即𝑎^(2)≡2(mod3)，矛盾．

于是必有𝑘=2，故(𝑎,𝑏)=(2,5)．

𝑚=7时，若𝑘≥5，考虑模32，有

公式：\begin{align*} &\overline{\underbrace{77 \dots 7}_{k \text{个} 7}} \equiv 77777 \equiv 17\pmod{32}\\ \iff&a^{b}+1 \equiv 17\pmod{32}\\ \iff&a^{b} \equiv 16 \pmod{32} \end{align*}

若𝑏≥5，有32∣𝑎^(𝑏)，矛盾，故𝑏=2,3,4．然而

公式：a^2+1\equiv \overline{\underbrace{77 \dots 7}_{k \text{个} 7}} \equiv 0\pmod{7}

即𝑎^(2)≡6(mod7)，矛盾．

公式：a^4+1\equiv \overline{\underbrace{77 \dots 7}_{k \text{个} 7}} \equiv 0\pmod{7}

即𝑎^(4)≡6(mod7)，矛盾．

𝑏=3时，𝑎^(3)≡16(mod32)，即𝑣_(2)(𝑎^(3))=4，矛盾．

于是𝑘≤4，枚举可得(𝑎,𝑏)=(6,5)．

综上，满足题意的(𝑎,𝑏)一共有4组：(2,2)，(2,3)，(2,5)，(6,5)．