赛题翻译
系列：CRUX 问题
加拿大CRUX杂志问题4671-4680
公众号原标题：加拿大CRUX杂志问题4671-4680——中文翻译（显示标题做过精简）
正文文字 243 字公式 102 处2 图
给定△𝐴𝐵𝐶以及边𝐵𝐶上一点𝑀，设𝑟_(1)，𝑟_(2)分别为△𝐴𝐵𝑀和△𝐴𝐶𝑀的内切圆半径．求𝑟_(1)+𝑟_(2)取得最大值时点𝑀的位置． 有理数𝑎，𝑏，𝑐满足 
公式：\sqrt{a^{2}-a b+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-b c+c^{2}}=\sqrt{a^{2}+a c+c^{2}}．𝑃为△𝐴𝐵𝐶所在平面上一点，且𝑃不在△𝐴𝐵𝐶任意一边所在直线上．在直线𝐵𝐴上取点𝐴_(1)，在直线𝐶𝐴上取点𝐴_(2)，使得△𝑃𝐴_(1)𝐴_(2)的重心为点𝐴，类似作出△𝑃𝐵_(1)𝐵_(2)和△𝑃𝐶_(1)𝐶_(2)．求证：△𝐴_(1)𝐵_(1)𝐶_(1)和△𝐴_(2)𝐵_(2)𝐶_(2)面积相等． 
求所有次数为2𝑛的首一多项式𝑃(𝑥)∈ℤ[𝑥]，使其有一个𝑛重的复根，且满足𝑃(0)=−1，𝑃(1)⋅𝑃(−1)≠0． 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)=3．求证：
公式：2(a^4+b^4+c^4)-(a^3+b^3+c^3)\geq 3abc．
设𝐸为凸四边形𝐴𝐵𝐶𝐷对角线的交点．过𝐸分别作∠𝐴𝐸𝐵，∠𝐵𝐸𝐶，∠𝐶𝐸𝐷，∠𝐷𝐸𝐴的角平分线，与𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐷𝐴分别交于点𝐹，𝐺，𝐻，𝐼．求证：
公式：\dfrac{AF}{BF}\cdot \dfrac{BG}{CG}\cdot \dfrac{CH}{DH}\cdot \dfrac{DI}{AI}=1．
计算：
公式：\int_{0}^{\infty} \arctan \left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right) \frac{x}{x^{2}+4} d x．
设𝑛为非负整数，求下式的闭式表达式：
公式：\dfrac{\sum\limits_{j=0}^{\lfloor n / 2\rfloor}\left(\begin{array}{c}
n+1 \\
n-2 j
\end{array}\right)\left(\dfrac{1}{5}\right)^{j}}{\sum\limits_{j=0}^{\lfloor n / 2\rfloor}\left(\begin{array}{c}
n-j \\
n-2 j
\end{array}\right)\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{j}}．
实数列(𝑥_(𝑛))_(𝑛≥1)满足：𝑥_(1)=(1)/(7)，𝑥_(2)=(1)/(5)，且对于任意𝑛≥2，都有 
公式：
2 n x_{n+1} \cdot x_{n-1}=(n+1) x_{n} \cdot x_{n-1}+(n-1) x_{n} \cdot x_{n+1}．在△𝐴𝐵𝐶中，|𝐵𝐶|>|𝐴𝐶|>|𝐴𝐵|．⊙𝐶_(1)以𝐶为圆心，𝐶𝐴的长度为半径，交𝐴𝐵于点𝑃，交𝐵𝐶于点𝑄．类似地，⊙𝐶_(2)以𝐵为圆心，𝐵𝐴的长度为半径，交𝐴𝐶于点𝑆，交𝐵𝐶于点𝑇．设𝐴^(′)为⊙𝐶_(1)和⊙𝐶_(2)的另一个交点．𝑂_(1)，𝑂_(2)，𝑂_(3)，𝑂_(4)，𝑂_(5)分别为△𝐶𝑆𝑇，△𝑆𝐴𝑃，△𝑃𝐵𝑄，△𝐵𝐴^(′)𝑄，△𝐴^(′)𝐶𝑇的外接圆圆心．求证：𝐶，𝑂_(1)，𝑆，𝑂_(2)，𝑃，𝑂_(3)，𝐵，𝑂_(4)，𝐴^(′)，𝑂_(5)十点共圆． 
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