2021年加拿大初中数学奥林匹克

1. 设𝐶_(1)和𝐶_(2)为同心两圆，𝐶_(1)在𝐶_(2)内部．𝑃_(1)和𝑃_(2)为𝐶_(1)上的两点，且𝑃_(1)𝑃_(2)不为直径．延长𝑃_(1)𝑃_(2)交𝐶_(2)于点𝑄_(2)，𝐶_(2)在𝑄_(2)处的切线和𝐶_(1)在𝑃_(1)处的切线交于点𝑋．过𝑋作𝐶_(2)的第二条切线切𝐶_(2)于点𝑄_(1)．求证：𝑃_(1)𝑋平分∠𝑄_(1)𝑃_(1)𝑄_(2)．

2. 有多少种对前𝑛个正整数的排列，使得对于任意正整数𝑘≤𝑛，该排列的前𝑘个数模𝑘的余数互不相同？

3. 梯形𝐴𝐵𝐶𝐷满足𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐵>𝐶𝐷，且边𝐴𝐷=𝐵𝐶．设𝐼是与直线𝐴𝐵，𝐴𝐶，𝐵𝐷相切的圆的圆心，且𝐴和𝐼位于直线𝐵𝐷的两侧，设𝐽是与直线𝐶𝐷，𝐴𝐶，𝐵𝐷相切的圆的圆心，且𝐷和𝐽位于直线𝐴𝐶的两侧．证明：𝐼𝐶=𝐽𝐵．

4. 给定正整数𝑛≥2，正实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)满足𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(𝑛)=2^(𝑛)−1．试确定

   公式：\dfrac{a_1}{1}+\dfrac{a_2}{1+a_1}+\dfrac{a_3}{1+a_1+a_2}+\cdots+\dfrac{a_n}{1+a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}

   的最小可能值．

5. 如果函数𝑓：ℤ_(+)→ℤ_(+)满足对所有正整数𝑥，𝑦都有

   公式：\gcd(f(f(x)),f(x+y))=\gcd(x,y)，

   那么这个函数被称作加拿大的．求所有正整数𝑚，使得对所有加拿大的函数𝑓，都有𝑓(𝑚)=𝑚．

文末附上两道几何题的tex代码：(顺便凑字数)

\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-euclide}
//第1题
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoint(0,0){O}
\tkzDefPoint(-50:1.5){P_1}
\tkzDefPoint(40:1.5){P_2}
\tkzDefPoint(0:1.5){C_1}
\tkzDefPoint(0:2.5){C_2}
\tkzInterLC(P_1,P_2)(O,C_2)\tkzGetFirstPoint{Q_2}
\tkzDefTangent[at=Q_2](O)\tkzGetPoint{q}
\tkzDefTangent[at=P_1](O)\tkzGetPoint{p}
\tkzInterLL(Q_2,q)(P_1,p)\tkzGetPoint{X}
\tkzDefTangent[from=X](O,C_2)\tkzGetPoints{Q_2}{Q_1}
\tkzDrawSegments(P_1,Q_2 P_1,X P_1,Q_1 X,Q_1 X,Q_2)
\tkzDrawCircle(O,C_1)
\tkzDrawCircle(O,C_2)
\tkzLabelPoints[below](P_1,Q_1)
\tkzLabelPoints[right](X)
\tkzLabelPoints[left](P_2,Q_2)
\end{tikzpicture}

//第3题
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{-2/-3/A,2/-3/B,1/1/C,-1/1/D}
\tkzInterLL(A,C)(B,D) \tkzGetPoint{E}
\tkzDefTriangleCenter[ex](B,A,E)\tkzGetPoint{I}
\tkzDefPointBy[projection = onto A--B](I) \tkzGetPoint{I_1}
\tkzDefPointBy[projection = onto A--C](I) \tkzGetPoint{I_2}
\tkzDefTriangleCenter[ex](C,D,E)\tkzGetPoint{J}
\tkzDefPointBy[projection = onto D--B](J) \tkzGetPoint{J_1}
\tkzDefPointBy[projection = onto D--C](J) \tkzGetPoint{J_2}
\tkzDrawSegments(A,I_1 B,C J_2,D D,A A,I_2 B,D I,C J,B)
\tkzDrawCircle[dashed](I,I_1)
\tkzDrawCircle[dashed](J,J_1)
\tkzLabelPoints[below](A,B)
\tkzLabelPoints[above](C,D)
\tkzLabelPoints[right](I,J)
\end{tikzpicture}