一道一试模拟题的分析过程

今天，天神给我看了一道一试的模拟题，题目如下：

在集合{0,±1,±2,⋯,±2010}中，能表示成(𝑥^(3)−𝑦)/(1+𝑥𝑦)(𝑥,𝑦∈ℕ_(+)，𝑥<𝑦)的形式的个数是__________．

开始以为这是一道无穷递降的题目，就是经过一番放缩分析得到这个分式只能是0．就像我在之前写的文章 里做的一样。

算了算发现，事情并不简单。

首先设𝑘=(𝑥^(3)−𝑦)/(1+𝑥𝑦)，显然𝑘不能为负．否则有𝑥^(3)<𝑦，于是有

即

𝑘=0是成立的，此时取𝑦=𝑥^(3)即可．

接下来考虑𝑘>0的情形，注意到

公式：k=\dfrac{x^3-y}{1+xy}\iff y=\dfrac{x^3-k}{1+xk}

这表明，若(𝑥_(0),𝑦_(0))为方程𝑘=(𝑥^(3)−𝑦)/(1+𝑥𝑦)的一组正整数解，则(𝑥_(0),𝑘)也为方程𝑦=(𝑥^(3)−𝑘)/(1+𝑥𝑘)的一组解．

以上删除部分是用无穷递降法解此题的错误所在．这里的𝑘是一个定值，交换𝑦和𝑘后方程也随之变化了．

这让我猜测此题应该有多个答案，于是尝试代入𝑘=1，𝑘=2，分别得到如下结果：

1. 公式：y=\dfrac{x^3-1}{x+1}=x^2-x+1-\dfrac{2}{x+1}\geq x^2-x，在𝑥=1时，𝑦=0，在𝑥≥2时，𝑦≥𝑥，故无解；
2. 𝑦=(𝑥^(3)−2)/(2𝑥+1)，此时要做的是代入合适的𝑥，让该分式取得一个整数值，这里比较麻烦的是两个2，直觉告诉我，𝑥应该和2有关系，于是设𝑥=2^(𝑛)，有

   公式：y=\dfrac{2^{3n}-2}{2^{n+1}+1}=2\cdot\dfrac{2^{3n-1}-1}{2^{n+1}+1}

   发现取3𝑛−1=2(𝑛+1)即𝑛=3就可以产生一个平方差公式了．即此时𝑥=8，𝑛=30．

其实做到这里，本题已经得到了解决，在𝑘≥2时，将上面的𝑥=8，𝑦=30，替换成𝑥=𝑘^(3)，𝑦=𝑘^(5)−𝑘，有

公式：\dfrac{x^3-y}{1+xy}=\dfrac{k^9-k^5+k}{1+k^8-k^4}=k

于是本题答案为𝑘=0或𝑘≥2，共有2010个．