2022年巴西数学奥林匹克（初级组）

第一天

1. 一个单人游戏的规则如下：起初，有10堆石子，每堆各有1,2,⋯,10枚石子．每次进行以下操作之一：
   (i)选择两堆石子数不少于2的石子，将它们合并，并在新石堆中再放入2枚石子；
   (ii)选择一堆石子数不少于4的石子，从里面取出2枚石子，再将它分成两堆，每堆的石子数由玩家决定．
   当无法执行任何操作时，游戏结束．
   a) 举例说明导致游戏结束的一个操作序列．
   b) 将上述例子中前五次操作中的石头总数和堆数列成表格．
   c) 不论之前怎么执行操作，在游戏结束时，总有两堆石子数量相同．

2. 非零实数𝑎，𝑏，𝑐满足

求𝑎𝑏𝑐的所有可能值．

3. 设△𝐴𝐵𝐶的内心为𝐼，外接圆为Γ，𝑀为𝐵𝐶中点，𝐾为外接圆上弧𝐵𝐶（不含点𝐴）的中点，𝐿为外接圆上弧𝐵𝐶（包含点𝐴）的中点，𝐽为𝐼关于𝐾𝐿的对称点．直线𝐿𝐽和Γ再次交于点𝑇，直线𝑇𝑀和Γ再次交于点𝑆．求证：𝑆，𝐼，𝑀，𝐾四点共圆．

第二天

4. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶，内切圆为𝜔，𝑀为𝐵𝐶中点．𝑃、𝑄分别为𝐴𝐵、𝐴𝐶上一点，且满足𝑃𝑄∥𝐵𝐶，𝑃𝑄和𝜔相切，∠𝐶𝑄𝑀=∠𝑃𝑄𝑀．已知𝐴𝑄=1，求△𝐴𝐵𝐶的周长．

5. 起初，黑板上写有一个自然数𝑛．每一分钟，内马尔选取𝑛的一个约数𝑑（𝑑>1），擦去𝑛，然后写上𝑛+𝑑．如果开始黑板上的数为2022，那么内马尔永远无法在黑板上写出的最大合数是多少？

6. 求满足以下条件的正整数𝑘的最大值：给定集合{1,2,⋯,2023}的𝑘个互异的1011元子集，总能将这些子集分为两组，每一组内的任意两个子集交集非空．