2022年清华大学大中衔接试题及个人思考
正文文字 613 字公式 64 处3 图
求所有的整数𝑥，使得𝑥^(8)≡16(mod61)．
是否存在首一整系数多项式𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)，满足𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)−(𝑥^(5)−𝑥+1)的系数均为5的倍数？
至少进行多少次相邻两数位置互换的操作，才能将(1,2,⋯,100)变为(2,4,⋯,100,99,97,⋯,1)？
对凸𝑛边形𝐶，定义其对角线的赋值为该对角线所在直线两边𝐶的边数之差的绝对值．𝐶的一个三角剖分的权为该剖分中对角线的赋值的最小值．求所有三角剖分的权的最大值．
设复数𝑧_(1),𝑧_(2),⋯,𝑧_(𝑛)的模长都不超过1．求证：
公式：\left|n-\sum_{k=1}^nz_k\right|\ge\left|1-\prod_{k=1}^nz_k\right|.
设𝑝是质数，𝑓(𝑥)是整系数多项式，满足𝑓(1),𝑓(2),⋯,𝑓(𝑝)模𝑝的余数有𝑚种，其中1<𝑚<𝑝．求证：deg𝑓≥(𝑝−1)/(𝑝−𝑚)．
没有动笔，简单谈谈这几道题：（如果有错误，请指出）
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答案是10，12，49，51．（也就只有这题能口算一下了）
公式：61\mid x^8-16=(x^4+4)(x^2+2)(x^2-2)
容易知道±2为模61的二次非剩余，只能有
公式：61\mid x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)
即61∣((𝑥+1)^(2)+1)((𝑥−1)^(2)+1)
(一个经典的因式分解)
接下来就不难看出答案了．
也就是考查𝑥^(5)−𝑥+1在有限域𝔽_(5)的可约性．
可见：https://zhuanlan.zhihu.com/p/486528229
（题外话：想到了好石的“经典”文章《一元五次方程实例代数解》）
把(2,4,⋯,100,99,97,⋯,1)当作新的序，考虑(1,2,⋯,100)在这个序下的逆序数以及逆序列．
（在编程中应该是个入门问题）
归纳就完了．
陈题，AoPS上有，原题为2020年Putnam B5．
原题：
对𝑗∈{1,2,3,4}，设𝑧_(𝑗)为模长为1的复数，且𝑧_(𝑗)≠1．求证：
公式：3-z_1-z_2-z_3-z_4+z_1z_2z_3z_4\neq 0
原题比较简单，AoPS上有人进行了推广，就是本题．
推广及解答：
陈题，为2019年国际大都市数学奥林匹克（IOM）第9题的左半边．
有人觉得和2019年罗马尼亚大师赛（RMM）的最后一题有联系，不过那题我不会，也只能看出来形式上比较相似，就不多做评论了．
求所有的整数对(𝑐,𝑑)，𝑐,𝑑均大于1，且满足：
对任意一个𝑑次首一整系数多项式𝑄，以及任意一个质数𝑝>𝑐(2𝑐+1)，均存在一个元素个数不超过(2𝑐−1)/(2𝑐+1)𝑝的整数集合𝑆，使得集合公式：\bigcup\limits_{s\in S}\{s,Q(s),Q(Q(s)),Q(Q(Q(s))),\cdots\}
含有模𝑝的完全剩余系．
个人倒觉得这题和1997年IMO预选题中的一道题形式也挺像的，难度则是另一个极端．
设𝑓为整系数多项式，𝑝为素数，满足𝑓(0)=0，𝑓(1)=1，对任意正整数𝑘，𝑓(𝑘)≡0或1(mod𝑝)．求证：deg𝑓≥𝑝−1．
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