2022年中美洲及加勒比数学奥林匹克

第一天

1. 有一个有2022块石头的石堆．Ana和Beto轮流玩以下游戏，从安娜开始：在每一回合，如果石堆里有𝑛块石头，玩家可以移除𝑆(𝑛)块石头或𝑛−𝑆(𝑛)块石头，其中𝑆(𝑛)为𝑛在十进制下的数码和．移除最后一块石头的人获胜．确定两位玩家中哪一位有获胜的策略并加以描述．

2. Ana，Beto，Carlos，Diana，Elena和Fabian在一个圆周上顺次排列，每人都有一张纸，上面分别写着实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑒，𝑓．
   在每分钟结束时，每个人将自己纸上的数字替换成这分钟开始时其与两个邻居纸上的三个数字之和．在2022分钟结束时，数字2022曾出现过，且每个人的纸上仍是初始时的数字．求𝑎𝑏𝑐+𝑑𝑒𝑓的所有可能值．
   注： 如果在第𝑁分钟开始时，Ana，Beto，Carlos的纸上依次写有数字𝑥，𝑦，𝑧，则在第𝑁分钟结束时，Beto的纸上写有𝑥+𝑦+𝑧．

3. 设锐角△𝐴𝐵𝐶的外心为𝑂，垂心为𝐻．𝐴𝑂和𝐵𝐻交于点𝐷．点𝑃在直线𝐴𝐵上，且满足𝑃𝐻=𝑃𝐷．求证：𝐵，𝐷，𝑂，𝑃四点共圆．

第二天

4. 设𝐴_(1)𝐴_(2)𝐴_(3)𝐴_(4)为矩形，𝑆_(1)，𝑆_(2)，𝑆_(3)，𝑆_(4)为矩形内部的四个圆，满足𝑆_(𝑘)和𝑆_(𝑘+1)相切，并且都和𝐴_(𝑘)𝐴_(𝑘+1)相切，𝑘=1,2,3,4，𝐴_(5)=𝐴_(1)，𝑆_(5)=𝑆_(1)．求证：𝐴_(1)𝐴_(2)𝐴_(3)𝐴_(4)为正方形．

5. 炼金术士Esteban有8088块铜片，6066块青铜片，4044块银片和2022块金片．他可以取两块不同的金属，用魔法锤把它们变成两块不同的金属，且与他所拿的金属又是不同的．求Esteban在使用魔锤有限次后所能得到的金块的最大数量．
   注： 如果Esteban拿了一块铜片和一块青铜片，就能把它们变成一块银片和一块金片．

6. 称正整数𝑛为“倒装“的，如果存在𝑛个整数（可以相同），使得这𝑛个整数的和与积都等于𝑛．在不超过2022的所有正整数中，有多少个是“倒装”的？