2023年四川预赛第8题解答

答案：

(−(25)/(16),6)

构造：

A→0，B→π，C→0时，原式趋于6；

C→0，cos⁡A→−(3)/(8)，cos⁡B→(3)/(8)时，原式趋于−(25)/(16)．

证明：

上界证明显然，下面证明：

公式：3\cos A+2\cos 2B+\cos 3C>-\dfrac{25}{16}

结合A+B+C=π和取等条件，进行均值换元：

设A=(π)/(2)+α，B=(π)/(2)−β，则C=β−α，且由A,B,C∈[0,π]，有−(π)/(2)≤α≤β≤(π)/(2)．

（注：为方便书写，这里让α,β能够取到端点值．）

于是

公式：\begin{aligned} &3\cos A+2\cos 2B+\cos 3C\\ =&3\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+2\cos(\pi-2\beta)+\cos(3\beta-3\alpha)\\ =&-3\sin\alpha-2\cos 2\beta+\cos(3\beta-3\alpha) \end{aligned}

固定β，将上式看作关于α的函数\f(α)，其中α∈[−(π)/(2),β]．

于是f(α)的最小值只可能在端点和极值点处取得．

令公式：f'(\alpha)=-3\cos\alpha+3\sin(3\alpha-3\beta)=0得：公式：\sin(3\alpha-3\beta)=\cos\alpha=\sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)，其中3α−3β∈[−3π,0]，(π)/(2)−α∈[0,π]．

于是3α−3β=−(3π)/(2)+α或−(3π)/(2)−α．

只需考虑：公式：\alpha=0,\beta,\dfrac{3\beta}{2}-\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{3\beta}{4}-\dfrac{3\pi}{8}的情形．

(1)α−(π)/(2)时，

公式：f(\alpha)=3-2\cos(2\beta)+\cos(3\beta+\frac{3\pi}{2})\ge 0

(2)α=β时，

公式：\begin{aligned} f(\alpha)&=-3\sin\beta-2\cos 2\beta+1\\ &=-4\sin^2\beta-3\sin\beta-1\\ &=(2\sin\beta-\frac{3}{4})^2-\frac{25}{16}\\ &\ge-\frac{25}{16} \end{aligned}

(3)α=(3β)/(2)−(3π)/(4)时，由α≥−(π)/(2)得：β≥(π)/(6)．

公式：\begin{aligned} f(\alpha)=&-3\sin\alpha-2\cos 2\beta-\cos(-\frac{3\pi}{2}+\alpha)\\ =&-3\sin\alpha-2\cos 2\beta+\sin\alpha\\ =&-2\sin\alpha-2\cos 2\beta\\ =&-2\sin(\frac{3\beta}{2}-\frac{3\pi}{4})-2\cos 2\beta \end{aligned}

设β=2θ−(π)/(2)∈[(π)/(6),(π)/(2)]，有θ∈[(π)/(3),(π)/(2)]．

设t=cos⁡θ∈[0,(1)/(2)]，有

公式：\begin{aligned} f(\alpha)=&-2\sin(\frac{6\theta-\frac{3\pi}{2}}{2}-\frac{3\pi}{4})-2\cos(4\theta-\pi)\\ =&-2\sin(3\theta-\frac{3\pi}{2})+2\cos 3\theta\\ =&2\cos 4\theta-2\cos 3\theta\\ =&4\cos^2 2\theta-2-2\cos 3\theta\\ \ge&-4\cos 2\theta-3-\cos 3\theta\\ =&-8t^3-8t^2+6t+1\\ =&2t(1-2t)(2t+3)+1\\ \ge&1 \end{aligned}

(4)α=(3β)/(4)−(3π)/(8)时，由α≥−(π)/(2)得：β≥−(π)/(6)．

公式：\begin{aligned} f(\alpha)=&-3\sin\alpha-2\cos 2\beta-\cos(-\frac{3\pi}{2}-\alpha)\\ =&-4\sin\alpha-2\cos 2\beta\\ =&-4\sin(\frac{3\beta}{4}-\frac{3\pi}{8})-2\cos 2\beta \end{aligned}

设β=4θ−(3π)/(2)∈[−(π)/(6),(π)/(2)]，有θ∈[(π)/(3),(π)/(2)]．于是

公式：\begin{aligned} f(\alpha)=&-4\sin(\frac{12\theta-\frac{9\pi}{2}}{4}-\frac{3\pi}{8})-2\cos(8\theta-3\pi)\\ =&-4\sin(3\theta-\frac{3\pi}{2})+2\cos 8\theta\\ =&2\cos 8\theta-4\cos 3\theta\\ =&4\cos^24\theta-2-4\cos 3\theta\\ \ge&4\cos 4\theta-3-4\cos 3\theta\\ \ge&2\times 1-3\\ >&-\dfrac{25}{16} \end{aligned}

倒数第二行的不等式用到了(3)中的结论，两种情况中的θ取值范围是一样的．

综上所述，有f(α)≥−(25)/(16)，且等号当且仅当α=β时取得，于是在△ABC中，有

公式：3\cos A+2\cos 2B+\cos 3C>-\dfrac{25}{16}

评注：

本题难度还是很大的，个人认为是整张卷子最难一题（要求证明的话）。其实直接固定变量来求导也是可以做的，但是过程会复杂不少。这里通过均值换元给出了一个稍简洁一些的解答。