龚老师在中写了剩余6道题目的解答，见2025年巴尔干预选6个代数题目及解答．这里我把剩下一道题补上（用pqr方法也非常简单）．
题目：
设正实数𝑎,𝑏,𝑐满足𝑎^(2)𝑏+𝑎^(2)𝑐+𝑏^(2)𝑎+𝑏^(2)𝑐+𝑐^(2)𝑎+𝑐^(2)𝑏=1，证明：
(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)/(1+2𝑎𝑏𝑐)⩽((𝑎+𝑏+𝑐)^(2))/(4).
展开解答收起解答
证明：
注意到
1+2𝑎𝑏𝑐=𝑎^(2)𝑏+𝑎^(2)𝑐+𝑏^(2)𝑎+𝑏^(2)𝑐+𝑐^(2)𝑎+𝑐^(2)𝑏+2𝑎𝑏𝑐=(𝑎+𝑏)(𝑏+𝑐)(𝑐+𝑎)原不等式等价于
((𝑎+𝑏+𝑐)^(2))/(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)⩾(4)/(1+2𝑎𝑏𝑐)⟺(𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2))/(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)⩾2−(8𝑎𝑏𝑐)/((𝑎+𝑏)(𝑏+𝑐)(𝑐+𝑎))不妨设𝑎最小，由
(𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2))/(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)⩾(𝑎^(2)+𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2))/(𝑎^(2)+𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)=(2𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2))/((𝑎+𝑏)(𝑎+𝑐)).只需证明：
(𝑏+𝑐)(2𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2))⩾2(𝑎+𝑏)(𝑏+𝑐)(𝑐+𝑎)−8𝑎𝑏𝑐;⟺ 2𝑎^(2)𝑏+2𝑎^(2)𝑐+𝑏^(3)+𝑏^(2)𝑐+𝑏𝑐^(2)+𝑐^(3)⩾2∑_(sym)𝑎^(2)𝑏−4𝑎𝑏𝑐;⟺ 𝑏^(3)+𝑐^(3)+4𝑎𝑏𝑐⩾2𝑎𝑏^(2)+2𝑎𝑐^(2)+𝑏^(2)𝑐+𝑏𝑐^(2);⟺ (𝑏−𝑐)^(2)(𝑏+𝑐−2𝑎)⩾0;由𝑏⩾𝑎,𝑐⩾𝑎即证．
为庆祝恩次方根公众号五周年，本周末（5月22日—5月24日）将进行送书活动，周五、六、日三天累积送出价值万元的数学书目，留言分享和数学、数学竞赛或本公众号相关故事，即可参与。敬请关注！
留言
正常留言提交后可直接显示，无需人工审核；仍会经过防刷与垃圾内容过滤。请不要留下手机号等私人信息。解法、疑问都可以说；公式用 LaTeX：行内
$…$，整行$$…$$。