赛题翻译
系列：英国数学奥林匹克
2024年英国数学奥林匹克（第二轮）
公众号原标题：2024年英国数学奥林匹克（第二轮）——中文翻译（显示标题做过精简）
正文文字 450 字2 图
英文原文：
讲解视频：（也可以点击阅读原文打开）
https://bmos.ukmt.org.uk/solutions/bmo2-2024/
tex文档：
2024年英国数学奥林匹克（第二轮）
程国根 译
1. 将$\dfrac{10}{13}=0.7692307692\cdots$的十进制表示中，小数点后的前$n$位所构成的整数组成一个数列$$7,76,769,7692,76923,769230,\cdots.$$ 求证：在数列的前$60$项中，至少有$49$项有三个及以上的素因子． （包含重复的素因子，例如$76=2\times 2\times 19$有三个素因子．）
2. 求所有函数$f$：$\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$，使得对任意整数$n$，都有$$2f(f(n))=5f(n)-2n.$$
3. 在锐角三角形$ABC$中，$AB>AC$．$\triangle ABC$的外接圆在点$B$和点$C$处的切线交于点$P$．一条同时过$PB$和$PC$中点的直线与$AB,AC$分别交于点$X,Y$． 求证：$A,X,P,Y$四点共圆．
4. 设正整数$m<n$．起初一共有$n$堆石子，每堆有$m$块石子．重复执行以下操作：选择两堆石子，从这两堆中移除共$n$块石子．对于怎样的$(m,n)$，可以移除所有石子？
查看本文 LaTeX 源码
\section*{2024年英国数学奥林匹克（第二轮）}\flushright 程国根\quad 译\ex 将$\dfrac{10}{13}=0.7692307692\cdots$的十进制表示中，小数点后的前$n$位所构成的整数组成一个数列$$7,76,769,7692,76923,769230,\cdots.$$
求证：在数列的前$60$项中，至少有$49$项有三个及以上的素因子．
（包含重复的素因子，例如$76=2\times 2\times 19$有三个素因子．）\vfill\ex 求所有函数$f$：$\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$，使得对任意整数$n$，都有$$2f(f(n))=5f(n)-2n.$$\vfill\ex 在锐角三角形$ABC$中，$AB>AC$．$\triangle ABC$的外接圆在点$B$和点$C$处的切线交于点$P$．一条同时过$PB$和$PC$中点的直线与$AB,AC$分别交于点$X,Y$．
求证：$A,X,P,Y$四点共圆．\vfill\ex 设正整数$m<n$．起初一共有$n$堆石子，每堆有$m$块石子．重复执行以下操作：选择两堆石子，从这两堆中移除共$n$块石子．对于怎样的$(m,n)$，可以移除所有石子？\vfill
留言
正常留言提交后可直接显示，无需人工审核；仍会经过防刷与垃圾内容过滤。请不要留下手机号等私人信息。解法、疑问都可以说；公式用 LaTeX：行内
$…$，整行$$…$$。