2022年韩国数学奥林匹克（初级组）

第一天

1. △𝐴𝐵𝐶的内切圆和边𝐴𝐵、𝐵𝐶分别切于点𝐷、𝐸，𝐼为△𝐴𝐵𝐶的内心．求证：𝐴𝐼和𝐷𝐸的交点在以𝐴𝐶为直径的圆上．

2. 对正整数𝑛（≥3），求出同时满足以下两个条件的有序整数组的个数：
   (1)对任意1≤𝑖≤𝑛，1≤𝑎_(𝑖)≤𝑖；
   (2)对任意1≤𝑖<𝑗<𝑘≤𝑛，若𝑎_(𝑖)=𝑎_(𝑗)，则𝑎_(𝑗)≥𝑎_(𝑘)．

3. 给定奇素数𝑝，定义𝑓(𝑛)为𝑑模𝑝的余数，其中𝑑为𝑛的所有约数中，不为𝑝的倍数的最大者．例如：𝑝=5时，𝑓(35)=2，𝑓(75)=3．整数列𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)，⋯定义如下：
   (1)𝑎_(1)=1；
   (2)对任意正整数𝑛，𝑎_(𝑛+1)=𝑎_(𝑛)+(−1)^(𝑓(𝑛)+1)．
   求所有整数𝑚，使得存在无穷多个正整数𝑘，满足𝑚=𝑎_(𝑘)．

4. 求所有函数𝑓：ℕ→ℕ，使得对任意正整数𝑥和𝑦，(𝑓(𝑥+𝑦)−𝑓(𝑥))/(𝑓(𝑦))为一个不超过2022^(2022)的正整数．

第二天

5. 实数列𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯定义如下：𝑎_(1)=2，𝑎_(2)=11，对任意正整数𝑛，公式：2a_{n+2}=3a_n+\sqrt{5(a_n^2+a_{n+1}^2)}．求证：对任意正整数𝑛，𝑎_(𝑛)均为有理数．

6. 在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶．𝐷为边𝐴𝐶上异于𝐴、𝐶的一点，圆Ω和𝐵𝐷切于点𝐸，和𝐴𝐶切于点𝐶．设𝐴𝐸和Ω的另一个交点为𝐹，𝐴𝐶和△𝐴𝐵𝐹外接圆的另一个交点为𝐺．求证：𝐷、𝐸、𝐹、𝐺四点共圆．

7. 𝑛张卡片上不重复地标有从1到𝑛的数字．将这些卡片放在𝑛个盒子里，起初每个盒子里恰有一张卡片．按照以下操作方法将所有卡片放入同一个盒子中：
   选择一个整数𝑘（1≤𝑘≤𝑛），将标有𝑘的卡片放入另一个盒子（不能是空盒子）中，使得该盒子中的卡片编号之和为𝑘的倍数．
   求所有正整数𝑛，使得存在这样的操作方法，能够将所有的卡片放入同一个盒子中．

8. 求所有有理数组(𝑥,𝑦)，满足

   𝑥𝑦^(2)=𝑥^(2)+2𝑥−3.