2022年地中海数学奥林匹克

1. 设𝑆={1,2,⋯,999}．求最小的整数𝑚，使得存在𝑚个双面的卡片𝐶_(1)，𝐶_(2)，⋯，𝐶_(𝑚)，且具有如下性质：
   (1)每张卡片𝐶_(𝑖)的一面写有𝑆中的一个数字，另一面写有𝑆中的另一个数字；
   (2)对任意𝑥，𝑦∈𝑆，且𝑥≠𝑦，能够选出一张卡片𝐶_(𝑖)，其某一面写有𝑥，和另一张卡片𝐶_(𝑗)（𝑖≠𝑗)，其某一面写有𝑦．

2. (1)是否存在两个十进制的数码𝑎和𝑏，使得每个形如𝑎𝑏222⋯231的十进制数都能被73整除？
   (2)是否存在两个十进制的数码𝑐和𝑑，使得每个形如𝑐𝑑222⋯231的十进制数都能被79整除？

3. 设𝑎，𝑏，𝑐，𝑑为正实数，求证：

   公式：\frac{(a + b + c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(b + c + d)^3}{b^3+c^3+d^3}+\frac{(c+d+a)^4}{c^4+d^4+a^4}+\frac{(d+a+b)^5}{d^5+a^5+b^5}\le 120

4. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵<𝐴𝐶，𝑂为外心．过𝑂作∠𝐵𝐴𝐶的平分线的平行线与𝐵𝐶交于点𝐸，过𝐸作𝐵𝐶的垂线与∠𝐵𝐴𝐶的平分线交于点𝐷．延长𝐸𝐵至𝐾，使得𝐸𝐾=𝐾𝐴，设△𝐴𝐷𝐾的外接圆与𝐵𝐶的延长线交于点𝑃、与△𝐴𝐵𝐶的外接圆交于点𝑄．求证：𝑃𝑄与△𝐴𝐵𝐶的外接圆相切．

译者注：本题为2018年中国数学奥林匹克第一天第三题