用极坐标解答一道圆锥曲线题

近日，有学生问了我一道题：

𝐴、𝐵在椭圆上，且𝐴𝐵过椭圆左焦点𝐹，过𝐴、𝐵作椭圆切线交于点𝐶．若|𝐴𝐶|=|𝐴𝐵|，求椭圆离心率的取值范围．

这题答案一看就是一个高次方程的根，不过计算也不太复杂，所以我就写了一下．

引理1：

点𝐶在椭圆的左准线上．

引理1的证明：

由配极原理显然．

以左焦点𝐹为极点，𝑥轴正方向为极轴，建立极坐标系．设椭圆的离心率为𝑒，焦准距为𝑝，则椭圆的极坐标方程为𝜌=(𝑒𝑝)/(1−𝑒cos𝜃)．不妨设𝐴在极轴上方，𝐴的极坐标为 ((𝑒𝑝)/(1−𝑒cos𝜑),𝜑)，则𝐵((𝑒𝑝)/(1+𝑒cos𝜑),𝜑+𝜋)．由此可得以下引理2和引理3．

引理2：

焦点弦长公式：|𝐴𝐵|=(2𝑒𝑝)/(1−(𝑒cos𝜑)^(2))．

引理2的证明：

公式：\begin{aligned} |AB|=&|AF|+|FB|\\=&\dfrac{ep}{1-e\cos\varphi}+\dfrac{ep}{1+e\cos\varphi}\\=&\dfrac{2ep}{1-(e\cos\varphi)^2} \end{aligned}

引理3：

椭圆切线斜率公式：𝑘_(𝐴𝐶)=−(cos𝜑−𝑒)/(sin𝜑)．

引理3的证明：

公式：\begin{aligned} k=&\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\ =&\lim\limits_{\Delta(\rho\cos\theta)\to 0}\dfrac{\Delta(\rho\sin\theta)}{\Delta(\rho\cos\theta)}\\ =&\lim\limits_{\Delta\theta\to 0}\dfrac{\dfrac{\Delta(\rho\sin\theta)}{\Delta\theta}}{\dfrac{\Delta(\rho\cos\theta)}{\Delta\theta}}\\ =&\dfrac{\left(\dfrac{ep\sin\theta}{1-e\cos\theta}\right)'}{\left(\dfrac{ep\cos\theta}{1-e\cos\theta}\right)'}\\ =&-\dfrac{\cos\theta-e}{\sin\theta} \end{aligned}

取𝜃=𝜑即可．

回到原题：

点𝐴到左准线距离𝑑=(𝜌_(𝐴))/(𝑒)=(𝑝)/(1−𝑒cos𝜑)

于是

公式：\begin{aligned} &|AC|^2\\ =&(k_{AC}^2+1)d^2\\ =&\left(\left(\dfrac{\cos\varphi-e}{\sin\varphi}\right)^2+1\right)\dfrac{p^2}{(1-e\cos\varphi)^2}\\ =&\dfrac{e^2-2e\cos\varphi+1}{1-\cos^2\varphi}\cdot\dfrac{p^2}{(1-e\cos\varphi)^2} \end{aligned}

设𝑡=cos𝜑∈(−1,1)，则

公式：\begin{aligned} &|AC|=|AB|\\ \iff&\dfrac{e^2-2et+1}{1-t^2}\cdot\dfrac{p^2}{(1-et)^2}=\dfrac{4e^2p^2}{(1+et)^2(1-et)^2}\\ \iff&\dfrac{e^2-2et+1}{1-t^2}=\dfrac{4e^2}{(1+et)^2}\\ \iff&(et-1)(2e^2t^2-(e^3-e)t-(3e^2-1))=0 \end{aligned}

由𝑒∈(0,1)，𝑡∈(−1,1)知，𝑒𝑡−1≠0，故

此方程在(−1,1)上有解．

设公式：f(t)=2e^2t^2-(e^3-e)t-(3e^2-1)，则

Δ=(𝑒^(3)−𝑒)^(2)+4⋅2𝑒^(2)(3𝑒^(2)−1)≥0 即𝑒^(2)(𝑒^(4)+22𝑒^(2)−7)≥0，结合𝑒∈(0,1)知：

此时，对称轴𝑡=(𝑒^(3)−𝑒)/(4𝑒^(2))=(𝑒)/(4)(1−(1)/(𝑒^(2)))<0，且

公式：1-\dfrac{1}{e^2}\ge 1-\dfrac{1}{8\sqrt{2}-11}=\dfrac{8\sqrt{2}-12}{8\sqrt{2}-11}

而

公式：\begin{aligned} &\dfrac{8\sqrt{2}-12}{8\sqrt{2}-11}>-4\\ \iff& 3-2\sqrt{2}<8\sqrt{2}-11\\ \iff&5\sqrt{2}>7 \end{aligned}

显然成立．

故(𝑒)/(4)(1−(1)/(𝑒^(2)))>(𝑒)/(4)⋅(−4)=−𝑒>−1．

于是对称轴在(−1,0)上，故Δ≥0时，𝑓(𝑡)在(−1,1)上必有一根．

本题答案为[√(8√(2)−11),1)．

下图为𝑒取得最小值时，|𝐴𝐶|=|𝐴𝐵|的情况：

注：

引理3是个很有用的结论，可以直接推出圆锥曲线的光学性质等一系列和切线有关的结论，读者可以自行证明．