2026年IMSC第5题解答

答案

分析

本题的关键在于按素因子取模，并设法控制指数 (𝑑,𝑛)．若𝑛有两个不同素因子𝑝,𝑞，可取𝑑=𝑝𝑎，使得(𝑑,𝑛)=𝑝．此时题设中的指数被固定为𝑝，再模𝑞^(𝛽)（其中𝑞^(𝛽)∥𝑛）观察，由𝑛−𝑑≡−𝑑可得到𝑑^(𝑛−𝑝)≡1(mod𝑞^(𝛽))．

当 𝑎变化时，𝑑=𝑝𝑎会遍历模𝑞^(𝛽)的约系，因此模𝑞^(𝛽)的约系中每个元素都满足同一个幂同余．这个限制非常强：若𝛽≥2，取𝑥=1+𝑞，由二项式展开便会推出𝑞∣𝑛−𝑝，与𝑞∣𝑛且𝑞∤𝑝矛盾．所以多素因子情形下，𝑛必无平方因子．

进一步，在模 𝑞下取原根可得𝑞−1∣𝑛−𝑝．若𝑛有三个不同奇素因子，取最大的为𝑞，再取另外两个素因子𝑝_(1),𝑝_(2)，即可推出𝑞−1∣𝑝_(2)−𝑝_(1)，与0<|𝑝_(2)−𝑝_(1)|<𝑞−1矛盾．故多素因子情形只可能是两个不同奇素数的乘积．

单素因子情形则令 𝑛=𝑝^(𝛼)，取 𝑑=𝑝，从整除条件中比较所含 𝑝的幂次，可得必须 𝛼≤𝑝．由此得到全部候选．

证明

先排除偶数情形．若偶数 𝑛含有奇素因子𝑞，令𝑚=𝑛/2．由中国剩余定理，可取1≤𝑎<𝑚，使得(𝑎,𝑚)=1且2𝑎≡1(mod𝑞)．令𝑑=2𝑎，则𝑑<𝑛且(𝑑,𝑛)=2．由题设，模𝑞得0≡𝑑^(𝑛)+(𝑛−𝑑)^(2)≡1^(𝑛)+(−1)^(2)≡2(mod𝑞)，矛盾．因此偶数解只能是𝑛=2^(𝛼)．

若 𝛼≥3，取𝑑=2，则题设要求2^(𝛼)∣2^(𝑛)+(2^(𝛼)−2)^(2)．但2^(𝑛)+(2^(𝛼)−2)^(2)=2^(𝑛)+4(2^(𝛼−1)−1)^(2)，右端所含2的幂次恰为2<𝛼，矛盾．故偶数情形只剩𝑛=4，它包含在𝑝^(𝛼)型中．

以下设 𝑛为奇数，且至少有两个不同素因子．任取两个不同素因子𝑝,𝑞，设𝑞^(𝛽)∥𝑛．令𝑑=𝑝𝑎，其中1≤𝑎<𝑛/𝑝且(𝑎,𝑛/𝑝)=1．于是(𝑑,𝑛)=𝑝，并且𝑞∤𝑑．由题设，模𝑞^(𝛽)得

由于 𝑞∤𝑑，所以 𝑑^(𝑛−𝑝)≡1(mod𝑞^(𝛽))．当 𝑎变化时，𝑑=𝑝𝑎遍历模 𝑞^(𝛽)的约系，故

若 𝛽≥2，在式(1)中取𝑥=1+𝑞．由二项式展开，(1+𝑞)^(𝑛−𝑝)≡1+(𝑛−𝑝)𝑞(mod𝑞^(2))，从而𝑞∣𝑛−𝑝．但𝑞∣𝑛且𝑞∤𝑝，矛盾．因此，在含有多个素因子的情形下，𝑛必无平方因子．

于是式 (1)化为模𝑞的结论：模𝑞的约系中每个元素的(𝑛−𝑝)次幂都等于1．取模𝑞的原根，得𝑞−1∣𝑛−𝑝．

若 𝑛有三个不同奇素因子，取最大的为𝑞，再取另外两个不同素因子𝑝_(1),𝑝_(2)．由上式分别得到𝑞−1∣𝑛−𝑝_(1)和𝑞−1∣𝑛−𝑝_(2)，相减得𝑞−1∣𝑝_(2)−𝑝_(1)．但𝑝_(1),𝑝_(2)<𝑞且𝑝_(1)≠𝑝_(2)，所以0<|𝑝_(2)−𝑝_(1)|<𝑞−1，矛盾．

因此，多素因子情形只能是 𝑛=𝑝𝑞，其中 𝑝,𝑞为不同奇素数．

接下来处理单素因子情形．设 𝑛=𝑝^(𝛼)．因为 𝑛为合数，所以 𝛼≥2．取 𝑑=𝑝，则 (𝑑,𝑛)=𝑝，题设要求

括号内模 𝑝同余于 (−1)^(𝑝)，因此不被 𝑝整除．所以该和式中所含 𝑝的幂次恰为 𝑝，从而必须 𝛼≤𝑝．

综上，必要性已经证明．

反之，𝑛=𝑝^(𝛼) (2≤𝛼≤𝑝)与 𝑛=𝑝𝑞 (𝑝,𝑞 为不同奇素数)均可直接代入验证满足题设．故全部解为