高考强基 2025-06-07 含解答

2025年新高考1卷压轴题的不求导优雅解法

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 101 字公式 29 处

题目：

若存在实数φ，使得对任意实数x，都有

5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b.

求b的最小值．

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解答：

一方面，不妨设φ∈[0,2π)．取x=(π−φ)/(6)∈(−(π)/(6),(π)/(6)]，可得

cos⁡(5x+φ)=cos⁡(5π+φ)/(6)=−cos⁡x

于是5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)=6cos⁡x≥3√(3)．

故b≥3√(3)．

另一方面，取φ=0，记t=cos⁡x，则

(5cos⁡x−cos⁡(5x+φ))^(2);= (5t−(16t^(5)−20t^(3)+5t))^(2);= (2^(10))/(9)⋅t^(2)⋅t^(2)⋅t^(2)⋅((15)/(8)−(3)/(2)t^(2))⋅((15)/(8)−(3)/(2)t^(2));≤ (2^(10))/(9)⋅((3⋅t^(2)+2⋅((15)/(8)−(3)/(2)t^(2)))/(5))^(5);= 27;

即5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤3√(3)，因此b=3√(3)满足题意．

综上，b的最小值为3√(3)．

单看第三问，还是很适合作为一道一试题的。其它就先不评论了，希望各位考生稳住心态，后面的考试继续加油！

高考解题研究

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