高考经典极值点偏移问题另证——2021年新高考1卷第22题

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1. 第 30 题（2021 年新高考 1 卷第 22 题）　已知函数 $f(x)=x(1-\ln x)$。（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；（2）设 $a,b$ 为两个不相等的正数，且 $b\ln a-a\ln b=a-b$，证明：$2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}$。
2. 解　（1）$f(x)$ 在 $(0,1)$ 递增，在 $(1,+\infty)$ 递减，证明略。（2）设 $u=\frac{1}{a}$，$v=\frac{1}{b}$，则 $b\ln a-a\ln b=a-b\iff\frac{-\ln u}{v}-\frac{-\ln v}{u}=\frac{1}{u}-\frac{1}{v}\iff u(1-\ln u)=v(1-\ln v)$。即 $f(u)=f(v)$，由（1）可不妨设 $0<u<1<v<\mathrm{e}$，要证明 $2<u+v<\mathrm{e}$。求导容易证明：当 $x\in(0,1)$ 时，$\ln x>\frac12\left(x-\frac1x\right)$；当 $x\in(1,+\infty)$ 时，$\ln x<\frac12\left(x-\frac1x\right)$；当 $x\in(1,+\infty)$ 时，$\ln x<x-1$。于是 $1=\frac{v\ln v-u\ln u}{v-u}<\frac{v\cdot\frac12\left(v-\frac1v\right)-u\cdot\frac12\left(u-\frac1u\right)}{v-u}=\frac{u+v}{2}$，即 $u+v>2$。又 $u<u(1-\ln u)=v(1-\ln v)=v\ln\frac{\mathrm{e}}{v}<v\left(\frac{\mathrm{e}}{v}-1\right)=\mathrm{e}-v$，即 $u+v<\mathrm{e}$。