2024年北京高考压轴题分析

今年北京高考数学试卷最后一题如下（第三问回忆版，这里对部分字母做了修改）：

设集合公式：M=\{(i,j,k,l)\mid i\in\{1,2\},j\in\{3,4\},k\in\{5,6\},l\in\{7,8\},2\mid i+j+k+l\}.

对给定正整数数列𝐴：{𝑎_(𝑛)},1≤𝑛≤8，和序列Ω：𝜔_(1),𝜔_(2),⋯,𝜔_(𝑠)，其中𝜔_(𝑡)=(𝑖_(𝑡),𝑗_(𝑡),𝑘_(𝑡),𝑙_(𝑡))∈𝑀,1≤𝑡≤𝑠．

定义变换𝑇：将数列𝐴的第𝑖_(1),𝑗_(1),𝑘_(1),𝑙_(1)项加1，得到数列𝑇_(1)(𝐴)；将数列𝑇_(1)(𝐴)的第𝑖_(2),𝑗_(2),𝑘_(2),𝑙_(2)项加1，得到数列𝑇_(2)𝑇_(1)(𝐴)；……重复上述操作，得到数列𝑇_(𝑠)⋯𝑇_(2)𝑇_(1)(𝐴)，记为Ω(𝐴)．

若𝑎_(1)+𝑎_(3)+𝑎_(5)+𝑎_(7)为偶数，求证：“存在Ω，使得Ω(𝐴)为常数列”当且仅当“公式：a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8．

分析：

⟹：只需注意到每次变换是将𝑎_(2𝑛−1)和𝑎_(2𝑛)中一个数加1，故公式：(a_{2m-1}+a_{2m})-(a_{2n-1}+a_{2n})为定值．而最后Ω(𝐴)为常数列，即所有的𝑎_(2𝑛−1)+𝑎_(2𝑛)都相等，于是变换前也相等，即 公式：a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8

⟸：即构造一个满足题意的序列Ω．为方便叙述，将Ω写成一个𝑠×4的矩阵

公式：\left(\begin{matrix} i_1&j_1&k_1&l_1\\ i_2&j_2&k_2&l_2\\ &\cdots&\cdots&\\ i_s&j_s&k_s&l_s \end{matrix}\right)

尝试进行构造：

为使𝑎_(1)和𝑎_(2)在变换后相等，我们很自然地希望第一列中有𝑎_(2)个1和𝑎_(1)个2，这样(𝑎_(1),𝑎_(2))→(𝑎_(1)+𝑎_(2),𝑎_(1)+𝑎_(2))．同理第二列中有𝑎_(4)个3和𝑎_(3)个4，依次类推．

然而，上面的Ω不一定满足“𝑖_(𝑡)+𝑗_(𝑡)+𝑘_(𝑡)+𝑘_(𝑡)为偶数”这一条件，下面我们对和为奇数的行进行调整．

首先，由题意知，𝑎_(1)+𝑎_(3)+𝑎_(5)+𝑎_(7)为偶数，而公式：a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8，于是𝑎_(2)+𝑎_(4)+𝑎_(6)+𝑎_(8)也为偶数，这样矩阵中所有元素之和也为偶数．因此元素和为奇数的行共有偶数个．

对两个元素和为奇数的行(𝑖_(𝑚),𝑗_(𝑚),𝑘_(𝑚),𝑙_(𝑚))和(𝑖_(𝑛),𝑗_(𝑛),𝑘_(𝑛),𝑙_(𝑛))，如果𝑖_(𝑚)和𝑖_(𝑛)的奇偶性不同（即𝑖_(𝑚)≠𝑖_(𝑛)），则交换𝑖_(𝑚)和𝑖_(𝑛)的位置，这样这两行的元素和均变为偶数，且不改变最终的和．𝑗,𝑘,𝑙的情况也同理．

此时元素和为奇数的行已被调整至全部相同，且一共有偶数行，设共有2𝑝行，它们均为(𝑖_(0),𝑗_(0),𝑘_(0),𝑙_(0))．

这时候无法再通过交换同一列的两个元素来进行调整，因此我们再添加一些行：

添加𝑝行(𝑖_(0),𝑗_(0),11−𝑘_(0),15−𝑙_(0))（即前两个数不变，后两个数改变），和𝑝行(3−𝑖_(0),7−𝑗_(0),𝑘_(0),𝑙_(0))，这些行的元素和也为奇数．

将𝑝行(𝑖_(0),𝑗_(0),11−𝑘_(0),15−𝑙_(0))中的11−𝑘_(0)与(𝑖_(0),𝑗_(0),𝑘_(0),𝑙_(0))中的𝑘_(0)交换；𝑝行(3−𝑖_(0),7−𝑗_(0),𝑘_(0),𝑙_(0))中的3−𝑖_(0)与(𝑖_(0),𝑗_(0),𝑘_(0),𝑙_(0))中的𝑖_(0)交换．

此时矩阵中所有行的元素和均为偶数，满足题意．且第𝑡列中恰有𝑎_(2𝑡)+𝑝个2𝑡−1和𝑎_(2𝑡−1)+𝑝个2𝑡．

将这个矩阵对应的Ω作用于𝐴，可得Ω(𝐴)中都每一项均为𝑎_(1)+𝑎_(2)+𝑝，证毕．